Глава V. ИНВЕРСИЯ

Рассмотрим в этой главе ещё одно геометрическое преобразование — инверсию, которая даёт возможность решить ряд сравнительно сложных задач на построение, трудно поддающихся решению с помощью других рассмотренных нами приёмов. Новый способ решения конструктивных задач, который мы здесь рассмотрим, носит название метода инверсии, или метода обращения, или метода обратных радиусов. Заметим попутно, что этот метод значительно "моложе" ранее рассмотренных. Инверсию стали изучать впервые лишь в 30-х годах прошлого века.

§ 1. Определение инверсии. Построение инверсных точек

Пусть на плоскости дана некоторая окружность (рис. 136).

Пусть, далее, произвольная точка плоскости, отличная от точки О. Сопоставим ей точку которая удовлетворяла бы двум условиям:

1) точка лежит на луче

Такую точку мы называем инверсной или обратной точке относительно окружности Окружность называется базисной окружностью инверсии, её центр — центром инверсии, а радиус — радиусом инверсии.

Преобразование, при котором каждой точке некоторой фигуры ставится в соответствие инверсная ей точка, называется инверсией, а фигура, образованная всеми точками, инверсными точкам данной фигуры, называется инверсной по отношению к данной фигуре.

Обратим внимание на что при так что если точка инверсна точке то расстояния и являются взаимно обратными числами. С этим связано то, что точку называют обратной точке а рассматриваемое преобразование называется преобразованием обратных радиусов (расстояний), или же обращением (по-латыни — inversio).

Рис. 136.

Отметим простейшие свойства инверсии, непосредственно вытекающие из определения.

1. Если точка инверсна точке то и обратно: точка инверсна точке

2. Если при инверсии фигура преобразуется в фигуру то и наоборот: фигура преобразуется в фигуру

3. Никакая точка плоскости не является инверсной для центра инверсии.

В дальнейшем мы поэтому при изучении инверсии будем иметь в виду плоскость, из которой удалён, "выколот" центр инверсии. Например, если говорится о преобразовании луча, выходящего из центра инверсии или о преобразовании прямой, проходящей через центр инверсии то имеется в виду фигура, которая образуется, если удалить из луча (или прямой) центр инверсии.

4. На плоскости с "выколотым" центром инверсии инверсия является взаимно однозначным преобразованием.

5. Каждая точка базисной окружности инверсна самой себе.

6. Если данная точка лежит вне базисной окружности, то инверсная ей точка лежит внутри этой окружности, и наоборот.

Это вытекает из равенства:

7. Если точка, лежащая вне базисной окружности, неограниченно удаляется от этой окружности, то инверсная ей точка (внутри базисной окружности) неограниченно приближается к центру инверсии. Верно и обратное предложение.

8. При инверсии луч, исходящий из центра инверсии, преобразуется в себя. При этом часть луча, внутренняя

относительно базисной окружности, преобразуется в его внешнюю часть, и наоборот.

9. При инверсии прямая, проходящая через центр инверсии, преобразуется в себя. (Конечно, при этом имеется в виду, что центр инверсии предварительно удалён из этой прямой.)

Построение точки, инверсной данной, может быть выполнено с помощью циркуля и линейки. Такое построение можно рассматривать как геометрическое определение инверсии. Построение это основано на двух теоремах, известных из школьного курса геометрии:

1) Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, соединяющему центр с точкой касания.

2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Следует рассмотреть три случая построения.

1-й случай. Точка на базисной окружности. Инверсная точка — сама точка

2-й случай. Точка вне базисной окружности Строим луч (рис. 137). Через точку проводим касательную к базисной окружности. Из точки касания опускаем перпендикуляр на прямую Основание этого перпендикуляра является точкой, инверсной точке Действительно, из прямоугольного треугольника видно, что

Рис. 137.

Замечание. Фактически это построение может быть выполнено следующим образом. Строим последовательно (рис. 138): луч окружность с диаметром хорду соединяющую точки пересечения вспомогательной окружности с базисной окружностью Тогда точка пересечения этой хорды с лучом инверсна точке

3-й случай. Точка внутри базисной окружности.

Ввиду взаимности соответствия точек при инверсии этот случай сводится к построению прообраза по образу в условиях предыдущего случая, так что надо в точке

восставить перпендикуляр к прямой найти одну из точек его пересечения с базисной окружностью и в этой точке провести касательную к базисной окружности до пересечения с лучом в точке

Рис. 138.