§ 11. Инверсор

Существуют приборы, с помощью которых можно без всяких вычислений и без привлечения обычных инструментов геометрических построений вычертить линию, инверсную любой данной линии. Такие приборы называются инверсорами.

Впервые инверсор был предложен французским капитаном Поселье в 1864 г. Этот прибор получил известность только через семь лет, когда он был независимо от Поселье изобретён петербургским студентом Липкиным, видимо, под влиянием идей П. Л. Чебышева.

"Клетка Поселье", как принято называть этот инверсор, состоит из шести стержней, связанных шарнирами (рис. 166). Четыре из них составляют ромб Остальные два стержня равны между собой, каждый из них длиннее стороны ромба

Обозначим через через а разность через Предположим, что точка О закреплена на плоскости. Тогда при любом положении точки на плоскости точка будет ей инверсна относительно окружности В самом деле: 1) лежат на одном луче, исходящем из точки

Когда точка описывает какую-либо линию у, точка описывает инверсную ей линию у. В частности, когда описывает окружность, проходящую через точку О, точка опишет прямую. Таким образом, инверсор Поселье позволяет преобразовать вращательное движение в прямолинейное. Если нужно преобразовать в инверсии окружность радиуса то к инверсору в точке шарнирно присоединяется стержень длины Если точки закреплены неподвижно так, что стержни и могут вращаться около точки О, а стержень около точки (см. рис. 167), то точка опишет дугу некоторой окружности, а точка дугу инверсной ей окружности или прямолинейный отрезок (в случае, если

Рис. 166.

Рис. 167.

Рис. 168.

Инверсор Гарта. Пусть четыре стержня связаны шарнирно так, как указано на рисунке Узлы А, В, С

и О являются здесь вершинами равнобочной трапеции, причём Пусть три точки на этих стержнях, причём Нетрудно проверить, что в таком случае точки лежат на одной прямой, параллельной основанию трапеции Предположим, что точка О закреплена на плоскости, а четыре стержня как-то расположены на этой плоскости. Оказывается, что при любом расположении механизма произведение постоянно.

Покажем это. Обозначим через через отсюда

Поэтому

Опустим из перпендикуляры и на

Тогда

Поэтому Обозначим через Тогда так что точки инверсны относительно окружности Когда точка опишет какую-либо линию, точка опишет инверсную ей линию. В частности, если точка будет перемещаться по окружности, проходящей через точку О, инверсная ей точка будет перемещаться по прямой.

Рис. 169.

Для удобства инверсного преобразования окружности, проходящей через центр инверсии, присоединяют к четырём рассмотренным стержням ещё один стержень который шарнирно связан со стержнем в точке и может вращаться около неподвижной точки причём Расположение стержней в механизме видно из рисунка 169.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Дайте определение инверсии и перечислите её простеишие Свойства.

2. Как строится точкд, инверсная данной?

3. Во что преобразуется окружность при инверсии?

4. Во что преобразуется прямая при инверсии?

5. Какие окружности преобразуются в себя при инверсии?

6. Сформулируйте лемму об антипараллельных прямых.

7. Почему инверсия относится к числу конформных преобразований?

8. В чём сущность метода инверсии при решении геометрических задач на построение?

9. Сформулируйте задачу Аполлония. Каков план её решения в общем случае?

10. Сколько решений может иметь задача Аполлония?

11. Приведите примеры предельных и частных случаев задачи Аполлония.

12. Укажите, в чём сходство между инверсией и осевой симметрией.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)