§ 6. Методика решения геометрической задачи на построение

В § 4 мы выяснили, что значит "решить задачу на построение". Вопрос о выборе той или иной схемы решения конструктивной задачи является чисто методическим вопросом.

Решение геометрической задачи на построение являетсй вполне доброкачественным, если оно проведено, например, по следующей схеме:

1. Устанавливается конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных.

2. Для каждого случая дается ответ на вопрос, имеет ли задача решения и сколько.

3. Для каждого случая, когда задача имеет решение, даётся способ нахождения (с помощью данных геометрических инструментов) каждого из возможных решений или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.

В таком виде намечено решение задачи о проведении касательной к окружности через данную точку в конце § 4. Этой схемы придерживаются в научных статьях и монографиях; однако она мало пригодна для учебных целей, особенно в условиях средней школы.

При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т. п. Поэтому при решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырёх этапов: 1) анализ; 2) построение; 3) доказательство; 4) исследование.

Конечно, эта схема не является безусловно необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные её этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьёзно помогает при решении конструктивных задач. Рассмотрим каждый этап этой схемы.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он даёт ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертёж можно выполнять "от руки". Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: "предположим, что задача уже решена".

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нём указанные в задаче линии.

Если вспомогательный чертёж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведётся следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры сводится к построению некоторой другой фигуры Затем подмечают, что построение фигуры сводится к построению фигуры

Рис. 14.

После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре построение которой уже известно.

Пусть, например, требуется построить треугольник по основанию и по медиане и высоте, проведённым к этому основанию. Рассматривая вспомогательный чертёж (рис. 14), замечаем, что треугольник можно легко построить, если будет построен треугольник тогда останется только отложить по обе стороны от точки на прямой отрезки, равные половине данного основания. Но треугольник прямоугольный и строится по гипотенузе и катету (§ 5, элементарная задача 12).

Полезно учесть следующие частные замечания, помогаю при проведении анализа.

1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертёж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

Пусть, например, требуется построить прямую, проходящую через данную точку А и равноудалённую от двух данных точек Построение чертежа-наброска удобно начать с искомой фигуры: строим сначала прямую а (рис. 15), на ней выбираем точку и на равных расстояниях от прямой а выбираем (по разные стороны от прямой) точки

Рис. 15.

Рис. 16.

После этого ещё не возникают на чертеже такие связи, которые позволили бы решить задачу. Проведём к прямой а перпендикуляры и построим отрезок и отметим точку пересечения отрезка с прямой а. Легко заметить, что середина отрезка а отсюда уже ясен способ построения.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их ещё нет на нём.

Пусть, например, требуется построить прямоугольный треугольник по острому углу и сумме катетов. Изобразим какой-либо прямоугольный треугольник (рис. 16). По условию даны: а и отрезок Искомый треугольник должен удовлетворять условиям: Чтобы ввести в чертёж данный отрезок

откладываем на продолжении стороны отрезок тогда Легко построить треугольна так как в нём известны: сторона и два угла: (элементарная задача 9, § 5). После построения треугольника построение искомого треугольника сводится к элементарной задаче 6.

3) В процессе проведения анализа бываег полезно вспомнить теоремы и ранее решённые задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сводные с теми, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа-наброска, мы невольно связываем рассуждения в известной мере с этим чертежом. Так, в примере, иллюстрирующем пункт 1), мы избрали точки по разные стороны от прямой а, в то время как можно было избрать их и по одну сторону от этой прямей. Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может поэтому оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемьй нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде.

Рис. 17.

Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырёхугольник — как неправильный и т. п. Чем более общий случай мы разберём при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи.

Рассмотрим ещё один пример анализа. Требуется вписать окружность в данный треугольник. Пусть данный треугольник (рис. 17). Чтобы вписать в него окружность,

надо определить положение ее центра и найти величину радиуса. Представим себе, что -центр вписанной окружности, а ОМ—радиус, проведённый в какую-либо из точек касания окружности к сторонам треугольника (например, в точку касания окружности к стороне Тогда отрезок перпендикулярен к прямой (см. [9], п. 113, 2). Поэтому расстояние центра вписанной окружности от стороны треугольника Так как все радиусы окружности равны, то центр окружности одинаково удалён от всех сторон треугольника и, следовательно, прямые и служат биссектрисами (внутренних) углов треугольника Этих соображений, очевидно, достаточно для построения центра и определения радиуса искомой окружности.

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решённых задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

В качестве примера обратимся опять к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник Как показывает проведённый выше анализ этой задачи, для построения искомой окружности нужно последовательно построить (см. рис. 17):

1) биссектрисы каких-либо двух внутренних углов данного треугольника (2-я элементарная задача);

2) точку их пересечения О (§ 3, осн. постр. 6);

3) прямую, проходящую через точку О перпендикулярно прямой (6-я элементарная задача);

4) основание проведённого перпендикуляра (осн. постр. 6, § 3);

5) окружность (осн. постр. 4, § 3).

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

Так, чтобы провести доказательство правильности приведённого выше построения окружности, вписанной в данный треугольник, надо установить, что построенная нами окружность действительно коснётся всех сторон треугольника Для этого прежде всего заметим, что прямая касается проведённой окружности, так как эта прямая

перпендикулярна к радиусу Вместе с этим ясно, что радиус окружности равен расстоянию её центра от стороны данного треугольника Далее замечаем, что центр окружности О одинаково удалён от всех сторон треугольника, так как лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, расстояние центра окружности от стороны или от стороны также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через О перпендикуляры к сторонам треугольника и то основания этих перпендикуляров (точки на рис. 18) расположатся на той же окружности. Таким образом, каждая из прямых и перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной окружности.

Рис. 18.

Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причём предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (т. е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных. Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Иногда ставится также задача: выяснить, при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырёхугольник окажется параллелограммом или ромбом?

Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, в известной мере произвольно выбирая те или иные случаи, причём неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остаётся неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. При исследовании решения сколько-нибудь сложной задачи такой подход может привести к потере решений, к тому, что некоторые случаи не будут рассмотрены.

Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование "по ходу построения". Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами.

Для этого необходимо:

1) Выяснить, всегда ли существуют в действительности точки, прямые, окружности или другие фигуры, построение которых предполагается осуществить на каждом шаге намеченного построения, или же их существование зависит от специального выбора положения или размеров тех или иных фигур. Например, если предполагается построить точки пересечения окружности с прямой, то надо заметить, что существование таких точек зависит от соотношения между радиусом этой окружности и расстоянием центра окружности от прямой.

Дальнейшее исследование надо проводить только для тех случаев, когда построение возможно, т. е. когда каждый шаг действительно приводит к построению искомых фигур.

2) Для каждого случая, когда решение существует, определить, сколько именно точек, прямых, окружностей и т. д. даёт каждый шаг построения. Например, если строятся точки пересечения окружности и прямой, то надо учесть, что таких точек будет две, если радиус окружности больше расстояния центра от прямой, и одна, если радиус окружности равен расстоянию центра от прямой.

3) Учитывая результаты исследования каждого шага, обратиться к задаче в целом и установить, при каких условиях расположения данных фигур или при каких соотношениях их размеров задача действительно имеет решение, а при каких его не существует. Если возможно, выразить условия разрешимости формулой (в форме неравенств или равенств).

4) Определить число возможных решений при каждом определённом предположении относительно данных, при котором эти решения существуют.

В итоге таких рассуждений решается вопрос о возможности построения данным способом. Но остаётся ещё открытым вопрос: не возникнут ли новые решения, если изменить как-либо способ построения? Иногда удаётся доказать, что

всякое решение данной задачи совпадает с одним из уже полученных решений; в этом случае исследование можно считать законченным. Если же это не удаётся, то можно предположить, что задача имеет другие решения, которые могут быть найдены другими способами. В этих случаях полезно ещё раз обратиться к анализу и проверить, нет ли каких-либо иных возможных случаев расположения данных или искомых фигур, которые не были предусмотрены ранее проведённым анализом.

Для иллюстрации приведённых здесь соображений обратимся ещё раз к рассмотренному выше (стр. 32) примеру: построить прямую, проходящую через данную точку А и равноудалённую от двух данных точек В к С.

Согласно анализу, приведённому на странице 32, построение следует провести в таком порядке: 1-й шаг — построение отрезка ВС; 2-й шаг — построение середины отрезка ВС; 3-й шаг — построение прямой AM, которая и является искомой.

Исследование должно проводиться примерно следующим образом. Первый шаг всегда выполнйм, притом однозначно: любые две различные точки можно соединить отрезком и только единственным. Однозначно выполнйм и второй шаг построения. Третий шаг построения всегда выполнйм: всегда можно провести прямую, соединяющую две данные точки. Но через две точки можно провести единственную прямую лишь в том случае, если эти точки различны; когда точки совпадают, то через эти две точки проходит бесконечно много прямых. Итак: при нашем способе построения мы получим бесконечно много решений, если точка А служит серединой отрезка и единственное решение во всех остальных случаях. Однако это не значит, что нельзя получить новые решения, проводя построение иначе. И действительно, более тщательное проведение анализа приведёт нас ещё к одному решению: прямая, проходящая через А и параллельная прямой (если такая прямая существует), также является решением задачи. Чтобы прийти к этому выводу, достаточно при анализе принять во внимание, что точки могут быть расположены и по одну сторону искомой прямой.

Других решений быть не может. В самом деле, пусть прямая а не проходит через середину отрезка и не параллельна ему (рис. 19). Обозначим через точку её пересечения с прямой а через и СС — перпендикуляры,

проведённые из точек на прямую а. Так как то Но из того, что прямая а не проходит через середину отрезка следует, что и поэтому т. е. прямая а не может удовлетворять условию задачи.

Рис. 19.

Приведенное исследование показывает, что задача имеет бесконечно много решений, если точка А является серединой отрезка и имеет в точности два решения, если точка А не лежит на прямой Если же А — произвольная точка прямой не являющаяся серединой отрезка то задача имеет одно решение.