§ 3. Построения одной линейкой

Геодезисты в своей работе тесно связаны с геометрическими построениями и измерениями, причём в практике геодезических работ приходится пользоваться почти исключительно проведением прямых линий.

В связи с этим внимание математиков еще в XVII в. было привлечено к изучению геометрических построений, производимых исключительно линейкой. Такого рода построения рассматривал упоминавшийся уже нами Мор (вне дошедшей до нас книге "Euclides curiosus", о которой упоминается в переписке некоторых математиков того времени). Ряд задач на построение с линейкой рассматривали: И. Ламберт (в 1774г.), Брианшон (1783—1864), написавший книгу "Приложения теории трансверсалей" (в 1818 г.), предназначенную для лиц, занимающихся землемерными работами, Понселе (1788—1867) в связи с его исследованиями по проективной геометрии.

Наиболее полные исследования в этой области произведены швейцарским геометром Я- Штейнером (1796—1863), который изложил их в известном сочинении "Геометрические построения, производимые с помощью прямой линии и неподвижного круга" (1833).

Как уже отмечалось (гл. VII, § 1), пользуясь только линейкой, можно решить очень ограниченный круг геометрических задач на построение. Нельзя, например, пользуясь исключительно линейкой, разделить отрезок пополам или провести параллель к данной прямой. Однако эти и многие другие задачи могут оказаться разрешимыми исключительно линейкой, если на плоскости дана некоторая вспомогательная фигура. Рассмотрим некоторые построения такого рода.

Для этого нам понадобится одно вспомогательное предложение ("лемма о трапеции").

Прямая, соединяющая точку пересечения диагоналей трапеции с точкой пересечения продолженных её боковых сторон, делит оба основания трапеции пополам.

Доказательство. Пусть (рис. 225) — данная трапеция, и основания, О — точка пересечения диагоналей, -точка пересечения продолженных боковых сторон, точки пересечения прямой с основаниями трапеции. Из подобия треугольников и следует, что а из подобиятреугольников и следует, что Из двух последних пропорций следует:

Рис. 225.

Из подобия треугольников и следует, что а из подобия треугольников и вытекает, что Из этих двух пропорций заключаем, что

Из соотношений (1) и (2) заключаем, что откуда Теперь уже не составляет труда убедиться, что

Решим теперь несколько задач, пользуясь исключительно линейяой.

Задача 1. Даны две параллельные прямые и на однин из них, например а, отрезок Построить середину этого отрезка.

Изберем произвольную точку лежащую вне полосы, ограниченной заданными прямыми (рис. 226). Проведем прямые и и отметим точки их пересечения с прямой Пусть О — точка пересечения прямых и Тогда, согласно предыдущей лемме, прямая пересечёт отрезок в его середине

Задача 2. Зная серрдину данного отрезка провести через данную точку С прямую, параллельную

Изберём на прямой вне отрезка произвольную точку (рис. 227) и соединим эту Точку с точками

Рис. 226.

Рис. 227.

Пусть О — точка пересечения прямых и точка пересечения прямых и Тогда прямая искомая. Доказательство проводится на основании леммы о трапеции по метолу от противного".

Задача 3. Через центр данного параллелограмма провести прямую параллельно его стороне.

Рис. 228.

Пусть (рис. 228) — данный параллелограмм, О — его центр. Учтя, что и можно воспользоваться предыдущей задачей и провести и Если точка пересечения прямых и то прямая параллельна стороне

Для доказательства рассмотрим треугольник где К — точка пересечения прямых и Треугольник равен треугольнику по двум сторонам и углу между ними. А поэтому Следовательно, прямая служит средней линией треугольника и поэтому параллельна его основанию.