§ 4. Теорема Штейнера

Пользуясь только линейкой, нельзя решить всякую задачу, разрешимую с помощью циркуля и линейки. Но исследования этого вопроса показали, что для решения как угодно сложной геометрической задачи на построение, разрешимой циркулем и линейкой, достаточно воспользоваться циркулем не более одного раза. Точнее говоря: всякая геометрическая задача на построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена какая-либо окружность и отмечен её центр. При этом предполагается, что данная фигура состоит только из конечного числа точек, прямых, лучей, отрезков и дуг окружностей. Это предложение было установлено швейцарским математиком Я- Штейнером в 1833 г. Без доказательства оно было приведено ещё в 1822 г. французским геометром Понселе в его "Трактате о проективных свойствах фигур". Поэтому эту теорему называют иногда теоремой Понселе — Штейнера.

Доказательство теоремы Штейнера проводится аналогично тому, как было проведено выше доказательство теоремы Мора — Маскерони.

Условимся называть окружность известной, если построен её центр и построены концы отрезка, равного радиусу этой окружности. Если пользоваться только линейкой, то такая окружность не может быть построена, хотя с общегеометрической точки зрения она вполне определена этими данными.

Рассуждая так же, как в § 2, мы заметим, что для доказательства теоремы Штейнера достаточно установить, что при наличии линейки и построенной окружности с отмеченным центром (которую мы в дальнейшем называем вспомогательной или штейнеровой) можно выполнить следующие построения.

(2). Построение общих точек известной окружности и построенной прямой (если такие точки существуют).

(3). Построение общих точек двух известных окружностей (если такие точки существуют).

(5)- Построение любого конечного числа точек, принадлежащих известной окружности.

(6)- Построение точки, не принадлежащей соединению конечного числа построенных точек, построенных прямых и известных окружностей.

Выполнимость остальных построений из числа построений (1) — (6), приведённых в § 2, в условиях теоремы Штейнера не вызывает сомнений.

Переждём к рассмотрению интересующих нас построений.

Решим предварительно несколько вспомогательных задач.

1-я вспомогательная задача. Через данную точку провести прямую, параллельную данной прямой а.

Рис. 229.

Пусть (рис. 229) О — центр вспомогательной окружности. Выберем на прямой а произвольную точку Выберем на вспомогательной окружности такую точку А, чтобы прямая не была касательной и не проходила через точку О. Прямая пересечёт вспомогательную окружность ещё в одной точке С. Проведём через два диаметра и Ясно, что четырёхугольник параллелограмм (даже прямоугольник). Пусть прямая, параллельная (см. задачу 3, § 3). Если прямые и пересекают данную прямую а соответственно в точках то так как Для выполнения требуемого построения остаётся применить задачу 2, § 3.

Рис. 230.

Если прямая а проходит через центр вспомогательной окружности (или хотя бы пересекает её), то решение задачи, очевидно, упрощается.

2-я вспомогательная задача. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой а (рис. 230). Проведём прежде всего диаметр вспомогательной окружности, параллельный данной прямой (см. предыдущую задачу). Пусть прямые и пересекаются со вспомогательной окружностью в точках Обозначая через точку пересечения прямых и найдём, что а следовательно, Действительно, прямые и служат высотами треугольника Следовательно, третья его высота, так как все три высоты треугольника должны пройти через одну точку.

Замечание. Описанное построение невозможно в двух случаях. 1) Если прямая (или прямая касается окружности. В этом случае прямая (соответственно является искомой.

2) Если точка расположена на окружности или на прямой В этом случае изберём вспомогательную точку не принадлежащую ни окружности, ни прямой проведём через перпендикуляр к данной прямой а указанным способом, а затем проведём через точку прямую, параллельную этому перпендикуляру.

3-я вспомогательная задача. На данной прямой а отложить от данной точки отрезок, равный данному отрезку

Рис. 231.

Пусть О — центр вспомогательной окружности (рис. 231). Строим параллелограмм (см. 1-ю вспомогательную задачу). Пусть луч встречает вспомогательную окружность в точке а прямая проведённая через О параллельно прямой а (задача 1), встречает окружность в точке Пусть, далее, прямая, проведённая через точку С параллельно прямой встречает прямую в точке Прямая проведённая параллельно встречает прямую а в искомой точке Действительно:

Переходим к выполнению построений

Построение Построение общих точек прямой и известной окружности.

Пусть центр данной окружности, данная её точка, вспомогательная окружность, -данная прямая (рис. 232). Требуется построить общие точки окружности с прямой

Рис. 232.

Идея построения состоит в использовании гомотетии данной и вспомогательной окружности. Для построения центра 5 этой гомотетии достаточно провести радиус вспомогательной окружности параллельно и построить точку пересечения прямых и Пусть прямая пересекает данную прямую в точке В пересечении найдётся прообраз точки в упомянутой гомотетии, а прямая а, проведённая через параллельно будет прообразом прямой В пересечении прямой а с окружностью найдутся прообразы искомых точек, а сами искомые точки будут точками пересечения прямых с прямой Может оказаться, что прямая а не пересечёт окружность Это будет означать, что данная окружность не встречается с прямой Если прямая а коснётся то и прямая будет касаться окружности

Построение Построение произвольного конечного числа точек на известной окружности.

Умея строить точки пересечения прямой и окружности, можно построить сколько угодно точек на окружности, заданной центром и точкой на ней: достаточно пересечь

эту окружность произвольной прямой. Ещё проще воспользоваться для этой цели 3-й вспомогательной задачей: провести любую прямую через центр заданной окружности и отложить на этой прямой от центра отрезок, равный радиусу.

Построение Построение общих точек двух известных окружностей.

Как известно (см. гл. II, § 7), эти точки являются точками пересечения данных окружностей с их радикальной осью. Таким образом, построение сводится к задаче о построении радикальной оси двух известных окружностей и к построению Радикальная ось двух окружностей перпендикулярна к линии их центров и пересекает её в точке для которой разность квадратов расстояний от центров окружностей равна разности квадратов радиусов этих окружностей (см. гл. II, § 7). Так как мы умеем уже провести перпендикуляр к данной прямой через данную точку (см. 2-ю вспомогательную задачу), то остаётся только указать способ построения точки

Рис. 233.

Пусть и данные окружности (рис. 233). В точках проведём перпендикуляр к линии их центров (2-я вспомогательная задача). Отложим на них соответственно отрезки (3-я вспомогательная задача).

Пусть середина отрезка (см. 1-ю вспомогательную задачу и задачу 1 из § 3).

Пусть прямая, проведённая через точку перпендикулярно пересекает линию центров в точке

Эта точка — искомая. Действительно: но так как то

Построение Построение точки, заведомо не принадлежащей какой-либо известной фигуре.

Осуществимость основного построения доказывается аналогично тому, как это было сделано в § 2. Выбираем две точки, не принадлежащие уже построенным прямым, и строим соединяющую их прямую а. На этой- прямой могут оказаться расположенными некоторые из построенных точек (что будет установлено непосредственно). Кроме того, могут быть построены все точки пересечения прямой а с построенными прямыми и с известными окружностями (построение После этого можно построить на прямой а точку, отличную от всех упомянутых здесь её точек. Полученная точка будет искомой. Теорема Штейнера доказана.

Советский математик Д. Д. Мордухай-Болтовской (1876—1951) в 1910 г. доказал, что теорема Штейнера остаётся в силе, если дана не вся вспомогательная окружность, а как угодно малая её дуга (и отмечен центр окружности). Доказано также, что эта дуга окружности может быть заменена дугой эллипса или гиперболы с отмеченным центром и фокусом или дугой параболы с отмеченной вершиной и фокусом (Н. В. Наумович, 1936 г.).

Выше (гл. VII, § 1) уже было отмечено, что, пользуясь только линейкой, нельзя построить центр начерченной окружности. При этом предполагалось, что на плоскости нет никаких других построенных фигур. В связи с этим интересно отметить, что если построены две пересекающиеся (или касающиеся) окружности, то центр каждой из них может быть построен с помощью только линейки (см. об этом в книге Радемахера и Теплица "Числа и фигуры", стр. 206—218 и 234—236).