Главная > Геометрические построения на плоскости
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Основные свойства гомотетии

1. Гомотетия является взаимно однозначным преобразованием.

В самом деле, для каждой точки существует на прямой единственная точка такая, что т. е.

Иными словами, для каждой точки существует единственный прообраз.

2. Всякая прямая, проходящая через центр гомотетии, преобразуется в себя-, это вытекает из определения гомотетии и свойства 1.

3. Луч, исходящий из центра гомотетии, преобразуется.

а) в себя, если гомотетия прямая,

б) в луч, симметричный рассматриваемому относительно центра гомотетии, если гомотетия обратная.

4. Отрезок, соединяющий две произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой с центром гомотетии, и отрезок, соединяющий образы этих точек, параллельны (при сливаются), причём отношение длины, второго к длине первого равно абсолютной величине коэффициента гомотетии.

Рис. 114.

Доказательство. Пусть точкам (рис. 114 сопоставлены соответственно точки Тогда откуда следует, что так что прямые и отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Отсюда ясно, что, во-первых, во-вторых,

Замечание. Векторы и направлены одинаково, если гомотетия прямая, и противоположно направлены, если гомотетия обратная.

Действительно, прямая делит плоскость на две полуплоскости Луч принадлежит одной из этих полуплоскостей, скажем Если гомотетия прямая (рис. 114), то точка В принадлежит тому же лучу и, следовательно,

той же полуплоскости Это означает, что векторы и лежат по одну сторону от прямой соединяющей их начала, так что векторы и одинаково направлены.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что в случае обратной гомотетии векторы и имеют противоположные направления (рис. 115).

Рис. 115.

5. Всякая прямая, не проходящая через центр гомотетии, преобразуется в параллельную ей прямую (если

Доказательство. Пусть а (рис. 116) — какая-либо прямая, не проходящая через центр гомотетии А и В — какие-либо две точки на прямой гомотетичные им точки. Прямую обозначим через а.

Рис. 116.

Если любая точка прямой образ, то по свойству т. е. прямые и проходят через точку А параллельно одной и той же прямой. Значит, они сливаются, так что точка располагается на прямой а. Итак, всякая точка прямой а преобразуется в некоторую точку прямой а.

Обратно: пусть (тот же рисунок) — какая-либо точка прямой а Прямая пересекая прямую а, пересечёт и параллельную ей прямую а в некоторой точке Легко

усмотреть, что именно эта точка преобразуется в данную точку Из подобия треугольников и видно, что кроме Того, ясно, что точки располагаются по одну сторону от 5 в случае прямой гомотетии и по разные стороны от 5 в случае обратной гомотетии. Таким образом, каждая точка прямой а служит образом некоторой точки прямой а.

6. При гомотетии параллельные прямые преобразуются в параллельные же прямые.

Действительно, пусть прямая а параллельна прямой и некоторая гомотетия преобразует эти прямые соответственно в прямые Тогда прямые не могут иметь общих точек, так как прообраз общей точки лежал бы как на прямой а, так и на прямой а эти прямые, по условию, общих точек не имеют.

Это свойство может быть выведено также из свойства 5.

7. При гомотетии отрезок преобразуется в отрезок.

Пусть -либо отрезок, точки, соответственно гомотетичные точкам Пусть произвольная точка отрезка гомотетичная ей точка. По условию Следовательно, в силу свойства т. е. а это возможно лишь тогда, когда точка располагается на отрезке (в противном случае Таким образом, каждая точка отрезка преобразуется в точку отрезка Аналогично доказывается и обратное: каждая точка отрезка гомотетична некоторой точке отрезка

Следующие два свойства вытекают из определений и доказанных свойств.

8. При гомотетии луч переходит в луч, причём луч и его образ направлены одинаково в случае прямой гомотетии и противоположно в случае обратной гомотетии.

9. При гомотетии угол преобразуется в равный ему угол.

10. При гомотетии треугольник преобразуется в подобный ему треугольник.

Пусть вершины треугольника преобразуются соответственно в точки Тогда, в силу свойства 7, стороны треугольника преобразуются соответственно в стороны треугольника причём Следовательно,

11. При гомотетии многоугольник преобразуется в подобный ему многоугольник.

12. Если какая-либо точка делит некоторый отрезок в определённом отношении, то гомотетичная ей точка делит образ этого отрезка в том же отношении.

Пусть данный отрезок и -точка на прямой Обозначая через точки, соответственно гомотетичные точкам найдём по свойству 4: откуда следует что и требовалось доказать.

13. При гомотетии высота, медиана и биссектриса данного треугольника переходят соответственно в высоту, медиану и биссектрису гомотетичного треугольника (см. свойства 9 и 12).

Обобщением понятия гомотетии является понятие об общем преобразовании подобия. Преобразование плоскости называется преобразованием подобия с коэффициентом подобия если при любом выборе двух точек плоскости отношение расстояний между образами этих точек к расстоянию между самими точками равно Две фигуры называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее одну из этих фигур в другую. Ясно, что всякое движение или гомотетия представляют частные случаи преобразования подобия. Ясно также, что последовательное применение гомотетии и движения приводит к преобразованию подобия. С другой стороны, можно доказать, что этим понятие о подобии исчерпывается, а именно, всякое преобразование подобия можно рассматривать как результат последовательного применения некоторого движения и некоторой гомотетии, т. е. если имеются две подобные фигуры, то всегда можно переместить одну из них по плоскости так, чтобы эти фигуры стали перспективно-подобными (об этом см., например [9], п. 176 или [20], теоремы 146 и 147).

1
Оглавление
email@scask.ru