§ 2. Основные свойства гомотетии

1. Гомотетия является взаимно однозначным преобразованием.

В самом деле, для каждой точки существует на прямой единственная точка такая, что т. е.

Иными словами, для каждой точки существует единственный прообраз.

2. Всякая прямая, проходящая через центр гомотетии, преобразуется в себя-, это вытекает из определения гомотетии и свойства 1.

3. Луч, исходящий из центра гомотетии, преобразуется.

а) в себя, если гомотетия прямая,

б) в луч, симметричный рассматриваемому относительно центра гомотетии, если гомотетия обратная.

4. Отрезок, соединяющий две произвольные точки плоскости, не лежащие на одной прямой с центром гомотетии, и отрезок, соединяющий образы этих точек, параллельны (при сливаются), причём отношение длины, второго к длине первого равно абсолютной величине коэффициента гомотетии.

Рис. 114.

Доказательство. Пусть точкам (рис. 114 сопоставлены соответственно точки Тогда откуда следует, что так что прямые и отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Отсюда ясно, что, во-первых, во-вторых,

Замечание. Векторы и направлены одинаково, если гомотетия прямая, и противоположно направлены, если гомотетия обратная.

Действительно, прямая делит плоскость на две полуплоскости Луч принадлежит одной из этих полуплоскостей, скажем Если гомотетия прямая (рис. 114), то точка В принадлежит тому же лучу и, следовательно,

той же полуплоскости Это означает, что векторы и лежат по одну сторону от прямой соединяющей их начала, так что векторы и одинаково направлены.

Аналогичными рассуждениями можно показать, что в случае обратной гомотетии векторы и имеют противоположные направления (рис. 115).

Рис. 115.

5. Всякая прямая, не проходящая через центр гомотетии, преобразуется в параллельную ей прямую (если

Доказательство. Пусть а (рис. 116) — какая-либо прямая, не проходящая через центр гомотетии А и В — какие-либо две точки на прямой гомотетичные им точки. Прямую обозначим через а.

Рис. 116.

Если любая точка прямой образ, то по свойству т. е. прямые и проходят через точку А параллельно одной и той же прямой. Значит, они сливаются, так что точка располагается на прямой а. Итак, всякая точка прямой а преобразуется в некоторую точку прямой а.

Обратно: пусть (тот же рисунок) — какая-либо точка прямой а Прямая пересекая прямую а, пересечёт и параллельную ей прямую а в некоторой точке Легко

усмотреть, что именно эта точка преобразуется в данную точку Из подобия треугольников и видно, что кроме Того, ясно, что точки располагаются по одну сторону от 5 в случае прямой гомотетии и по разные стороны от 5 в случае обратной гомотетии. Таким образом, каждая точка прямой а служит образом некоторой точки прямой а.

6. При гомотетии параллельные прямые преобразуются в параллельные же прямые.

Действительно, пусть прямая а параллельна прямой и некоторая гомотетия преобразует эти прямые соответственно в прямые Тогда прямые не могут иметь общих точек, так как прообраз общей точки лежал бы как на прямой а, так и на прямой а эти прямые, по условию, общих точек не имеют.

Это свойство может быть выведено также из свойства 5.

7. При гомотетии отрезок преобразуется в отрезок.

Пусть -либо отрезок, точки, соответственно гомотетичные точкам Пусть произвольная точка отрезка гомотетичная ей точка. По условию Следовательно, в силу свойства т. е. а это возможно лишь тогда, когда точка располагается на отрезке (в противном случае Таким образом, каждая точка отрезка преобразуется в точку отрезка Аналогично доказывается и обратное: каждая точка отрезка гомотетична некоторой точке отрезка

Следующие два свойства вытекают из определений и доказанных свойств.

8. При гомотетии луч переходит в луч, причём луч и его образ направлены одинаково в случае прямой гомотетии и противоположно в случае обратной гомотетии.

9. При гомотетии угол преобразуется в равный ему угол.

10. При гомотетии треугольник преобразуется в подобный ему треугольник.

Пусть вершины треугольника преобразуются соответственно в точки Тогда, в силу свойства 7, стороны треугольника преобразуются соответственно в стороны треугольника причём Следовательно,

11. При гомотетии многоугольник преобразуется в подобный ему многоугольник.

12. Если какая-либо точка делит некоторый отрезок в определённом отношении, то гомотетичная ей точка делит образ этого отрезка в том же отношении.

Пусть данный отрезок и -точка на прямой Обозначая через точки, соответственно гомотетичные точкам найдём по свойству 4: откуда следует что и требовалось доказать.

13. При гомотетии высота, медиана и биссектриса данного треугольника переходят соответственно в высоту, медиану и биссектрису гомотетичного треугольника (см. свойства 9 и 12).

Обобщением понятия гомотетии является понятие об общем преобразовании подобия. Преобразование плоскости называется преобразованием подобия с коэффициентом подобия если при любом выборе двух точек плоскости отношение расстояний между образами этих точек к расстоянию между самими точками равно Две фигуры называются подобными, если существует преобразование подобия, переводящее одну из этих фигур в другую. Ясно, что всякое движение или гомотетия представляют частные случаи преобразования подобия. Ясно также, что последовательное применение гомотетии и движения приводит к преобразованию подобия. С другой стороны, можно доказать, что этим понятие о подобии исчерпывается, а именно, всякое преобразование подобия можно рассматривать как результат последовательного применения некоторого движения и некоторой гомотетии, т. е. если имеются две подобные фигуры, то всегда можно переместить одну из них по плоскости так, чтобы эти фигуры стали перспективно-подобными (об этом см., например [9], п. 176 или [20], теоремы 146 и 147).