Глава I. ОСНОВАНИЯ КОНСТРУКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовём основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Примерами фигур могут служить: точка; пара точек; прямая (рассматриваемая как совокупность принадлежащих ей точек); пара параллельных прямых; отрезок (фигура, состоящая из двух точек и всех точек прямой, лежащих между ними); интервал, или открытый отрезок (совокупность всех точек, лежащих между двумя данными точками прямой); луч (фигура, состоящая из некоторой точки прямой и всех точек этой прямой, расположенных по одну сторону от этой точки); окружность (совокупность всех точек плоскости отстоящих на данное расстояние от некоторой данной точки этой плоскости); круг (совокупность всех точек плоскости, расстояния которых от данной в этой плоскости точки не превышают длины данного отрезка) и др.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур. Соединение фигур обозначают так: или

Пример. Соединение двух лучей одной прямой может представлять собой: а) всю прямую (рис. 1 ,а); б) луч этой прямой (рис. 1,б); в) прямую без интервала (рис. 1,е).

Понятием соединения можно воспользоваться для определения некоторых фигур. Например, если точек, то соединение отрезков называется -угольником.

Рис. 1.

Пересечением, или общей частью двух или нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур. Пересечение двух фигур обозначают так: или

Пример. Если расстояние прямой от центра окружности меньше радиуса этой окружности, то пересечение прямой с окружностью представляет пару точек. Если расстояние прямой от центра окружности равно радиусу окружности (случай сания), то пересечением будет одна точка (точка касания)

Разностью двух фигур называется совокупность всех таких точек фигуры которые не принадлежат фигуре Разность фигур обозначается так: Например, разность между прямой и лежащим на ней. интервалом есть совокупность двух лучей, принадлежащих этой прямой.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек. Так, пересечение прямой с окружностью будет пустым множеством, если расстояние прямой от центра окружности окажется больше радиуса этой окружности. Разность между интервалом прямой и всей прямой есть пустое множество.

Ясно, что если фигура есть часть фигуры то разность есть пустое множество. Нетрудно показать (способом от противного) и обратное: если разность пустое множество, то фигура есть часть фигуры

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией.

Основным Понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Мы примем это понятие без определения. Конкретный его смысл известен из практики, где оно означает то же, что "начертить", "провести" (линию), "отметить" (точку) и т. п. В интересах логической строгости изложения необходимо чётко формулировать те основные требования (постулаты), которыми характеризуется это понятие. Эти требования обычно не формулируются в условиях школьного курса элементарной геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собой разумеющееся. Основные требования (постулаты) конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертёжной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат в дальнейшем логической основой конструктивной геометрии. Перейдём к рассмотрению этих основных положений (аксиом) теории геометрических построений.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т. е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

I. Каждая данная фигура построена.

Заметим, что не следует смешивать понятия "данная фигура" и "фигура, заданная (или определённая) такими-то данными её элементами". В последнем случае дана не сама фигура, а лишь некоторые её элементы, которые определяют положение этой фигуры. Например, если даны две точки прямой, то существует единственная прямая, соединяющая эти точки, т. е. эта прямая определена двумя точками, но это не означает, что прямая эта построена (начерчена). Точно так же центр О и точка А на окружности определяют эту окружность по величине и положению, но если сказано только, что даны точки то ещё не следует считать (в том смысле, как это понимается в конструктивной геометрии), что дана сама окружность.

Представим себе, что построена полуокружность (рис. 2), а также построена и полуокружность Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность Точно так же, если построен луч некоторой прямой (рис. 3), а затем луч той же прямой,

естественно, счигается, что построена прямая являющаяся соединением этих лучей. Если построены три отрезка и то нет надобности строить что-либо ещё, чтобы построить треугольник Эти примеры разъясняют смысл следующего постулата:

II. Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

Рис. 2.

Рис. 3.

Представим себе, что построены два отрезка одной прямой: и Естественно, считается возможным ответить на вопрос, принадлежит ли отрезок целиком отрезку (рис. 4а) или нет (рис. 4б).

Рис. 4а.

Рис. 4б.

Если построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще, если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет. А так как фигура является частью фигуры в том и только в том случае, когда разность представляет собой пустое множество, то третье основное требование теории геометрических построений можно выразить в следующей форме:

III. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

Пусть точки прямой (рис. 5). Допустим, что отрезки и построены. Тогда мы, конечно, будем считать построенными как отрезок который является разностью отрезков и так и отрезок

который является разностью отрезков и Другой пример: если построена окружность и на ней точка, то мы считаем построенной также ту фигуру, которая останется, если из окружности удалить эту точку, т. е. считаем построенной разность между окружностью и точкой.

Рис. 5.

IV. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общие точки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Таким образом:

V. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

С точки зрения чертёжной практики последнее условие отражает определённые требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.

Обратимся ещё раз к рисунку 5. Пусть известно, что построены отрезки и В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения выражаются следующим образом.

VI. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

В следующих трёх основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.

VII. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

VIII. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

IX. Можно построить точку, Заведомд не принадлежащую построенной фигуре.

В дальнейшем требования I—IX этого параграфа мы будем называть общими аксиомами конструктивной геометрии.