§ 4. Понятие об однородных функциях

Прежде чем остановиться на общих приёмах построения алгебраических выражений и на выделении широких классов выражений, которые можно построить циркулем и линейкой, нам нужно будет рассмотреть понятие однородной функции. Начнём с примеров.

Рассмотрим три функции:

Подставим в эти формулы вместо букв с соответственно где произвольное положительное число. Тогда получим:

в 1-м случае

во 2-м случае

во 3-м случае

сдучде

Мы замечаем, что во случаях произведённая подстановка равносильна умножению функции на некоторую степень числа к, именно: во случае — на на Функция же 1) этим свойством не обладает. Функции 2) и 3) будем относить к классу однородных, а функцию 1) — к классу неоднородных.

Определение. Функцию будем называть однородной измерения если при любом положительном значении числа замена всех аргументов соответственно на равносильна умножению всей функции на Иными словами, однородная функция должна удовлетворять равенству:

В приведённых примерах функция 2) — однородная 1-го измерения, функция 3) — однородная 2-го измерения, функция 1) не является однородной.

Функция представляет пример однородной функции нулевого измерения, а функция однородная измерения