§ 8. Пучки окружностей

При решении некоторых задач на построение оказывается полезным понятие о пучке окружностей. Прежде чем ввести это понятие, докажем некоторые теоремы.

Теорема Если прямая а служит радикальной осью окружностей и одновременно радикальной осью окружностей и то прямая а служит радикальной осью окружностей и центры всех трёх окружностей располагаются на одной прямой.

Пусть произвольная точка "прямой а. По условию откуда следует, что так что прямая сливается с радикальной осью окружностей

Точки на одной прямой, так как

Теорема 2. Если дани две окружности, обладающие радикальной осью, то через каждую точку плоскости, лежащую вне их радикальной оси, можно провести единственную окружность, имеющую с каждой из данных ту же радикальную ось.

1-й случай. Данные окружности пересекаются.

Искомая окружность определяется данной точкой и двумя точками пересечения данных окружностей.

2-й случай. Данные окружности касаются друг друга.

При этом, как известно, радикальной осью служит их общая касательная. Искомая окружность должна касаться радикальной оси в той же точке. Таким образом, для построения искомой окружности мы располагаем прямой, на которой должен лежать её центр (это перпендикуляр к радикальной оси в точке касания данных окружностей) и двумя точками окружности (точка касания

и данная точка). Этими данными положение искомой окружности однозначно определяется.

3-й случай. Данные окружности не имеют общих точек. Пусть А — данная точка, и данные окружности, радикальная ось. Рассмотрим две возможности.

Рис. 67.

1) Точка А вне прямой (рис. 67). Пусть радикальный центр трёх окружностей: и "нулевой окружности" А. Тогда Проведём вспомогательную окружность и к ней касательную в точке А до пересечения с прямой в точке (такая точка существует, так как А вне прямой

Рис. 68.

Строим окружность Эта окружность искомая. Действительно, следовательно, радикальная ось окружностей проходит через

Кроме того, так что Аналогично .

2) Точка А на прямой (рис. 68).

Пусть Можно провести окружность ортогональную а через А — окружность имеющую центр на прямой и ортогональную окружности (для этого достаточно построить точку пересечения прямой с радикальной осью окружности и точки А). Ясно, что точка на радикальной оси окружностей Кроме того, Следовательно, и в этом случае совпадает с

Докажем, что через данную точку А при любом из двух рассмотренных предположений можно провести тольку одну окружность, удовлетворяющую условиям теоремы. Доказательство — от противного. Допустим, что две окружности проходят через точку А, причём прямая служит радикальной осью окружностей и в то же время радикальной осью окружностей "Тогда в силу теоремы 1 радикальная ось окружностей совпадает с Но ибо А — общая точка окружностей Следовательно, т. е. вопреки условию теоремы.

Согласно теоремам 1 и 2, каждый раз, когда заданы какие-либо две окружности, обладающие радикальной осью а, можно построить бесконечное множество таких окружностей, что для каждых двух из них прямая а будет служить радикальной осью.

Определение. Множество всех окружностей плоскости, обладающих попарно одной и той же радикальной осью, называется пучком окружностей.

Рис. 69.

Из предыдущего ясно, что две окружности пучка однозначно определяют этот пучок, т. е. для каждой окружности можно сказать, принадлежит ли она этому пучку или нет. В зависимости от того, имеют ли эти окружности две,

одну или ни одной общей Точки, различают пучки эллиптические (рис. 69), параболические (рис. 70) и гиперболические (рис. 71).

Рис. 70.

Прямая, служащая общей радикальной осью для всех пар окружностей пучка, называется осью этого пучка.

Рис. 71.

Общая точка всех окружностей параболического или Эллиптического пучка называется иногда центром пучка.

Приведей некоторые примеры применения понятия пучка к решению геометрических задач на построение.

Задача 1. Через две данные точки провести окружность так, чтобы она касалась данной прямой а.

Анализ. Искомая окружность принадлежит эллиптическому пучку окружностей, проходящих через точки А к В. Прямая а служит осью этого пучка, и поэтому касательные ко всем окружностям пучка, проведённые из какой-либо точки этой прямой, равны между собой.

В качестве такой точки можно взять точку С пересечения прямой с данной прямой а (рис. 72).

Рис. 72.

После этого нетрудно построить точку касания искомой окружности к прямой отрезок равен касательной к любой окружности пучка.

Построение. Строим последовательно:

1) точку

2) произвольную окружность проходящую через

3) касательную к окружности

4) окружность

5) точку пересечения окружности с прямой а;

6) прямую

7) симметраль точек

8) точку

9) окружность Эта окружность — искомая. Доказательство опускаем.

Исследование. Задача получает два решения и на рис. 72), если не параллельна прямой

а и точки расположены по одну сторону прямой а. Если прямая а пересекает отрезок то решения не существует. Если какая-либо одна из точек расположена на прямой а, то решение единственно и построение упрощается. Если одновременно то решения нет. Если прямая параллельна прямой а, то задача имеет единственное решение, которое может быть получено из совершенно элементарных соображений.

Задача 2. Построить окружность касающуюся данной окружности и данной прямой а в данной на ней точке А.

Искомая окружность принадлежит параболическому пучку с осью а и центром А.

Рис. 73.

Пусть (рис. 73) — любая окружность этого пучка, пересекающая данную окружность в точках Точка пересечения прямой с прямой а будет радикальным центром трёх окружностей . Поэтому касательная из к будет также касательной к искомой окружности Провгдя такие касательные и получим два возможных положения точки касания искомой окружности к данной. После этого ясно, как построить искомую окружность. На рисунке 73 -два возможных решения. Исследование решения предоставляем читателю.

При решении некоторых конструктивных задач (например, при построении окружности, пересекающей данную под прямым углом или в двух диаметрально противоположных

точках) полезно воспользоваться понятием связки окружностей. Связкой окружностей называется множество всех окружностей плоскости, относительно которых данная точка О имеет одну и ту же степень. Точку О называют центром связки. Ясно, что центр связки является радикальным центром любой тройки окружностей из этой связки.

Читатель может подробнее ознакомиться со свойствами связок окружностей и применениями этого понятия по книге Н. Ф. Четверухина (25) или по книге А. Н. Перепёлкиной и С. И. Новосёлова "Геометрия и тригонометрия" (Учпедгиз, 1947).

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Что называется ГМТ, обладающих указанным свойством?

2. Перечислите ГМТ, рассматриваемые в школьном курсе геометрии.

3. Какие вы знаете ГМТ, не изучаемые в школьном курсе?

4. Как надо понимать задачу: "найти ГМТ, обладающих данным свойством"?

5. Верно ли, что геометрическое место вершин треугольников, имеющих общее основание и равные высоты (длины Л), есть прямая, параллельная прямой и находящаяся от неё на расстоянии

6. В чём сущность метода геометрических мест при решении геометрических задач на построение?

7. Что называется степенью точки относительно окружности?

8. Какой формулой выражается степень точки относительно окружности

9. Что называется радикальной осью двух окружностей?

10. Как построить радикальную ось двух окружностей, если эти окружности пересекаются? касаются одна другой?

11. Как построить радикальную ось двух окружностей, не имеющих общих точек, но обладающих общей касательной?

12. Как построить радикальную ось двух эксцентрических окружностей?

13. В каком случае не существует радикальной оси двух окружностей?

14. Что называется радикальным центром трёх окружностей?

15. В каких случаях для трёх заданных окружностей не существует их радикального центра?

16. Что называется пучком окружностей? какие виды пучков вы знаете?

17. Верно ли, что радикальная ось двух окружностей есть геометрическое место точек, касательные из которых к данным окружностям одинаковы?

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)