§ 7. Сохранение углов при инверсии

Пусть через точку проходят две линии Предположим, что существует единственная касательная к каждой из этих линий в точке Пусть при инверсии точка преобразуется в точку а линии соответственно в линии и Оказывается, что угол между линиями и в точке равен углу между линиями в точке

Лемма. Если, при инверсии относительно окружности точка и проходящая через неё линия у преобразуются в точку и линию у, то линии и у в этих точках образуют с прямой равные углы.

Доказательство. Пусть (рис. 151) — произвольная точка на линии ей инверсная точка; тогда лежит на у.

Соединим с В силу леммы об антипараллельных прямых или

Рис. 151.

Пусть при неограниченном приближении точки вдоль линии у к точке секущая стремится к положению так что касательная к линии у в точке Пусть Тогда В то же время, когда стремится к вдоль линии у, угол стремится к нулю. Поэтому, в силу равенства (1), угол также стремится к определённому пределу, равному Таким образом, когда стремится к вдоль линии у (и, следовательно, стремится к на линии секущая стремится к некоторому предельному положению касательная к у в точке (по определению касательной). Мы видим, что Лемма доказана.

Теорема. Если две линии и точка их пересечения преобразуются в некоторой инверсии соответственно в линии и точку то угол между линиями в точке равен углу между линиями в точке

Доказательство. Пусть касательные к в точке а и — касательные к в точке (рис. 152).

Будем предполагать, что ни одна из прямых не совпадает с прямой где О — центр инверсии; в противном случае доказательство только упрощается. Прямой плоскость разбивается на две полуплоскости. Выберем в одной из них на каждой прямой по одной точке: В силу

леммы

Пусть для определенности отсюда и так что в силу равенств (2) и Теорема доказана.

Следствие. Если две линии касаются в некоторой точке, отличной от центра инверсии, то при инверсии они преобразуются в две линии, которые касаются в соответственной точке.

Рис. 152.

Рассмотренную теорему иногда кратко формулируют и так: при инверсии сохраняется угол между двумя линиями. Имея в виду это свойство, говорят, что инверсия является конформным (т. е. сохраняющим форму) преобразованием.

На рисунке 152 нетрудно усмотреть, что углы противоположно ориентированы (чтобы получить эти углы, нужно луч вращать против часовой стрелки, а луч часовой стрелке). Это обстоятельство носит общий характер: при инверсии сохраняется величина угла, но изменяется его ориентация.