§ 7. Радикальная ось и радикальный центр

В ряде вопросов геометрии используется ГМТ, называемое радикальной осью двух окружностей. Это понятие связано с понятием о степени точки относительно окружности.

Пусть на плоскости дана окружность и точка Проведем через точку произвольную прямую а, пересекающую окружность и пусть точки их пересечения.

Будем рассматривать отрезки и как направленные и назовём произведением этих отрезков произведение их длин и взятое со знаком или — в зависимости от того, направлены ли эти отрезки одинаково или противоположно. Если одна из точек А или А совпадёт с точкой то будем считать произведение равным нулю.

Справедливо следующее предложение.

Если через некоторую фиксированную точку проводятся прямые, пересекающие данную окружность, то произведение направленных отрезков, соединяющих данную точку с точками пересечения каждой секущей с окружностью, сохраняет постоянное значение.

Рис. 57.

Рис. 58.

Возможны три случая.

1. Точка расположена на данной окружности (рис. 57). В этом случае при любом выборе секущей.

2. Точка вне окружности (рис. 58). В этом случае отрезки и направлены одинаково,

произведение направленных отрезков и равно произведению их длин и равно квадрату отрезка касательной проведённой из точки к данной окружности (см. [9], гл. 3, п. 201).

3. Точка внутри окружности (рис. 59).

В этом случае отрезки и направлены противоположно один другому и их произведение отрицательно. Известно, что при этом абсолютная величина произведения направленных отрезков и равна произведению отрезков диаметра, проведённого через точку (см. [9], п. 200):

Рис. 59.

Итак, при любом расположении точки относительно окружности (в произведение направленных отрезков секущей действительно не зависит от выбора секущей.

Произведение направленных отрезков, проведённых из точки в точки пересечения окружности с любой секущей, проходящей через точку называется степенью точки относительно окружности

Будем обозначать эту величину символом

Таким образом, если какая-либо секущая, проходящая через точку пересекает окружность в точках то

Ясно (см. п. 2 предыдущего доказательства), что если точка расположена вне окружности то С равна квадрату отрезка касательной, проведённой из точки к окружности

Докажем, что при любом выборе точки на плоскости

где радиус окружности — её центр.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если точка внешняя относительно окружности то (см. рис. 58)

2. Если точка расположена на окружности то так как, с другой стороны, то, понятно,

3. В случае внутреннего расположения (см. рис. 59) равно произведению отрезков и диаметра, взятому со знаком минус, так что

Формула доказана, таким образом, для всех случаев.

Иногда выражение называют степенью точки по определению. Если уменьшать неограниченно радиус окружности не меняя положения её центра, то в пределе окружность превратится в точку О, а степень некоторой точки относительно окружности в квадрат отрезка Можно рассматривать точку О как окружность нулевого радиуса и ввести следующее определение: степенью точки относительно точки О называется квадрат отрезка

Введём теперь определение радикальной оси.

Радикальной осью двух окружностей называется ГМТ, имеющих равные степени относительно этих окружностей.

Пусть на плоскости заданы две окружности Положим для определённости Рассмотрим геометрическое место точек плоскости, для которых Согласно последней формуле, это равносильно требованию т. е. так что для точек искомого ГМТ разность квадратов расстояний от центров заданных окружностей остаётся постоянной. Такое ГМТ представляет собой, как известно (см. § 3, пример 3), прямую, перпендикулярную к линии центров данных окружностей (если только центры не совпадают).

Для построения радикальной оси двух окружностей достаточно построить какую-либо одну её точку: прямая, проведённая через эту точку перпендикулярно линии центров, будет радикальной осью. Если данные окружности обладают общей касательной, то в качестве такой точки можно взять середину отрезка общей касательной между точками касания. Действительно, так как для внешней точки степень её относительно данной окружности выражается квадратом длины

касательной, то середина общей касательной двух данных окружностей имеет равные степени относительно данных окружностей и, следовательно, расположена на их радикальной оси (рис. 60).

Отсюда следует, между прочим, такой факт: если к двум окружностям можно провести четыре общие касательные, то все четыре середины отрезков общих касательных, заключённых между точками касания, располагаются на одной прямой.

Рис. 60.

Рис. 61.

Если данные окружности пересекаются (рис. 61), то их радикальной осью служит прямая, проведённая через точки их пересечения, так как степень любой точки пересечения относительно каждой изданных окружностей равна нулю.

Если данные окружности касаются друг друга, то радикальной осью служит общая касательная, проведённая в точке касания окружностей (рис. 62).

Рис. 62.

Построение радикальной оси для случая эксцентрического расположения данных окружностей, т. е. для случая, когда одна из окружностей расположена внутри другой, но центры их не совпадают, мы рассмотрим позже.

Если данные окружности концентрические, то для них радикальная ось не существует, потому что не существует точек, равностепенных относительно таких окружностей; соотношение невозможно при

Все вышеприведённые рассуждения остаются в силе, если одна из двух данных окружностей "вырождается" в точку Если эта точка внешняя относительно второй окружности то радикальная ось проходит через середину отрезка касательной, проведённой из точки к окружности Этот предельный случай находит применение в некоторых задачах (см., например, задачи № 35—37 в конце этой главы).

В дальнейшем под окружностью можно подразумевать также "нулевую окружность", т. е. точку.

К важному понятию радикального центра приводит следующая теорема.

Теорема. Если центры трёх окружностей не лежат на одной прямой, то три радикальные оси этих окружностей, взятых попарно, проходят через одну точку.

Для доказательства рассмотрим в плоскости три окружности и предположим, что точки не принадлежат одной прямой (рис. 63).

Рис. 63.

Радикальная ось окружностей пересекает радикальную ось окружностей так как оси соответственно перпендикулярны к двум пересекающимся прямым и

Пусть Так как Так Поэтому т. е. точка имеет равные степени относительно окружностей следовательно, лежит на прямой

Итак, точка принадлежит всем трём радикальным осям.

Общая точка радикальных осей трёх окружностей, рассматриваемых попарно, называется радикальным центром этих трёх окружностей.

Согласно доказанной теореме, для трёх окружностей, центры которых не расположены на одной прямой, существует единственный радикальный центр.

Если центры трёх окружностей располагаются на одной прямой, то возможны три случая.

1. Ось не существует (случай, когда хотя бы две из трёх окружностей концентричны).

В этом случае не существует и радикальный центр.

2. Оси различны. Тогда они параллельны и радикальный центр опять не существует.

3. Оси совпадают. Тогда с ними совпадает также ось Каждая точка общей радикальной оси является радикальным центром трёх данных окружностей.

Рис. 64.

Радикальным центром можно воспользоваться для построения радикальной оси двух данных окружностей, в частности, и в том случае, если окружности эти эксцентрические. Пусть надо построить радикальную ось двух окружностей и (рис. 64). Строим произвольную окружность пересекающую обе окружности и имеющую центр вне прямой Строим затем радикальный центр как точку пересечения радикальных осей Через точку проводим прямую перпендикулярную прямой Прямая является, очевидно, радикальной осью окружностей

Укажем одно интересное свойство радикальной оси, полезное при решении некоторых задач на построение.

Теорема. Внешняя относительно каждой из двух данных окружностей часть их радикальной оси является ГМТ, каждая из которых служит центром некоторой окружности, пересекающей данные окружности под прямым углом.

Пусть —две данные окружности, их радикальная ось. Изберём на радикальной оси любую точку А, внешнюю к данным окружностям. Тогда (рис. 65)

отрезки касательных, проведённых из точки А к данным окружностям, одинаковы. Пусть Проведём окружность Радиусы данных окружностей перпендикулярны касательным так как проведены в точки касания. Поэтому прямые служат касательными к окружности в точках ей пересечения с данными окружностями.

Рис. 65.

Таким образом, касательные к окружностям проведённые в точке их пересечения как и касательные к окружностям проведённые в точке их пересечения взаимно перпендикулярны, т. е. окружность пересекает каждую из данных окружностей под прямым углом.

Обратно: если какая-либо окружность пересекает каждую из данных окружностей соответственно в точках под прямыми углами, то это означает, что в точке (соответственно касательная к окружности (соответственно к проходит через центр А окружности Таким образом, касательные из точки А к окружностям и равны, как радиусы окружности Следовательно, точка принадлежит радикальной оси

Понятия радикальной оси и радикального центра могут быть использованы при решении некоторых геометрических задач на построение.

Задача. Построить окружность, касательные к которой из данных точек были бы равны соответственно трём данным отрезкам

Анализ. Пусть искомая окружность (рис. 66), касательная к точка касания. Тогда Поэтому точка лежит на окружности

и касательная к из точки О равна Аналогично получим, что касательные из точки О к и к также должны быть равны Итак, касательные из точки О к трём окружностям должны быть равны между собой. Следовательно, точка О является радикальным центром этих окружностей.

Построение. Строим последовательно:

1) три окружности:

2) радикальный центр этих окружностей

3) касательную из точки О к окружности

4) точку касания

5) окружность где Эта окружность искомая.

Рис. 66.

Доказательство. Если приведённое построение выполнимо, так что и точка О лежит вне окружностей Поэтому из точки О можно провести касательные к окружностям Обозначим эти касательные через и Тогда так что т. е. вследствие чего точки и С, лежат на окружности Так как касается окружности то Следовательно, касается окружности причём как радиус окружности Аналогично можно доказать, что и касаются причём так что действительно искомая окружность.

Исследование. Проводя исследование по ходу построения, приходим к такому выводу.

1. Если точки не лежат на одной прямой, то возможны три случая: 1) точка О вне ; тогда она обязательно лежит вне (как установлено выше в ходе доказательства); задача имеет единственное решение; 2) точка О внутри решений нет; 3) точка О на окружности тогда так что О — общая точка трёх окружностей; задача не имеет решений: искомая окружность "вырождается" в точку.

2. А, В и С на одной прямой. Представляются две возможности: либо радикального центра нет, либо радикальных центров бесконечно много. В соответствии с этим задача либо неразрешима, либо имеет бесконечно много решений.