§ 7. Построение выражений, не являющихся однородными функциями 1-го измерения от длин данных отрезков

С построением выражений, не являющихся однородными 1-го измерения, мы можем столкнуться при построении кривых, заданных своими уравнениями, а также и в других случаях.

Построение произвольного выражения от аргументов можно всегда свести к построению некоторого однородного выражения 1-го измерения от аргументов. В самом деле, пусть нужно построить отрезок у по формуле: где не является однородной функцией 1-го измерения от длин данных отрезков Пусть нам задан (или нами выбран) некоторый отрезок в качестве единичного. Таким образом, Отсюда Поэтому задача сводится к построению отрезка по формуле:

Правая часть этого равенства — однородная функция 1-го измерения от длин 1 отрезков Если мы сумеем построить отрезок у по этой формуле, то он и будет искомым (при выбранной единице масштаба). Заметим, что мы получим различные (т. е. неравные между собой) отрезки в зависимости от выбора отрезка

Рассмотрим несколько примеров.

1. , где а — данный отрезок.

Пусть отрезок, принимаемый за единичный; тогда

Задача свелась к построению 7 из § 2.

2. , где целое,

Задача сводится к построению выражения Построение можно выполнить так, как указано на рисунке 188. На этом рисунке

Рис. 188.

Тогда, как легко проверить,

Отрезок у строится по формуле: Ход построения показан на рисунке 189. Здесь

4. Избирая получим; Построение показано на рисунке 189, где

Строится по формуле где Построение иллюстрирует рисунок 190.

Ясно, что

У — однородная функция 1-го измерения от длин трёх известных отрезков не. Поэтому её можно построить, пользуясь приёмами, указанными в § 5. Построение можно выполнить и непосредственно на основании построений 1—5 настоящего параграфа: строим последовательно отрезки по формулам: наконец,

Рис. 189.

Рис. 190.

Вводя единичный отрезок получим:

Строим теперь последовательно отрезки х, формулам:

Замечание. Рассмотренные здесь приёмы построения неоднородных выражений можно применить и к построению однородных выражений 1-го измерения,