§ 10. Инверсия и осевая симметрия

Можно установить далеко идущую аналогию в свойствах инверсии и осевой симметрии. Для этого напомним некоторые свойства инверсии.

1. Инверсия сохраняет угол переоечения двух линий, меняя при этом его ориентацию.

2. Прямая, ортогональная базисной окружности, преобразуется в себя.

3. Базисная окружность инверсии преобразуется в себя.

4. Всякая окружность, ортогональная базисной, преобразуется в себя.

5. Всякая окружность или прямая преобразуется в окружность или прямую.

6. Две точки тогда и только тогда инверсны относительно некоторой базисной окружности, если они являются вершинами пучка окружностей, ортогональных к базисной.

Если в этих предложениях слово "инверсия" заменить словами "осевая симметрия", выражение "базисная окружность" — через "ось симметрии" и "инверсные точки" — через "симметричные точки", то получим свойства осевой симметрии.

Покажем, что в известном смысле осевую симметрию можно рассматривать как предельный случай инверсии.

Пусть базисная окружность инверсии проходит через Точку А (рис. 165), так что Обозначим через касательную

к окружности в точке А. Пусть, далее, некоторая данная точка, инверсная ей точка относительно окружности Представим себе, что центр инверсии неограниченно удаляется от точки А вдоль луча так что радиус инверсии неограниченно возрастает.

В известном смысле мозкно говорить, что при этом окружность неограниченно приближается к прямой а, "вырождается" в эту прямую. Оказывается, что при этом точка будет перемещаться по плоскости, неограниченно приближаясь к точке симметричной с точкой относительно прямой а. Докажем это.

Рис. 165.

Для определённости положим, что точка и точка О лежат по разные стороны от прямой а (рис. 165). Опустим из точки перпендикуляр на прямую а и перпендикуляр на прямую Пусть Из точки инверсной точке относительно окружности также опустим перпендикуляры и на прямые Нам нужно показать, что если Действительно,

Но

и поэтому

Следовательно,

Отсюда видно, что когда С другой стороны,

Отсюда ясно, что когда

Изложенные здесь соображения показывают, что целесообразно расширить понятие об инверсии так, чтобы можно было рассматривать осевую симметрию как специальный случай инверсии. Для этого условимся называть "окружностью в широком смысле слова" любую окружность и любую прямую. Тогда можно оба преобразования — инверсию и симметрию относительно прямой — объединить в одно понятие с помощью следующего определения. Точка называется обратной точке (или сопряжённой точке относительно окружности (в широком смысле) если точки являются вершинами пучка окружностей, ортогональных к Такое преобразование, при котором каждой точке сопоставляется сопряжённая ей точка относительно окружности (в широком смысле) назовём отражением от окружности В том случае, когда является окружностью в узком (обычном) смысле, наше преобразование представляет инверсию относительно Если же прямая, то рассматриваемое преобразование является симметрией относительно этой прямой.