§ 4. Задача удвоения куба

Задача удвоения куба состоит в следующем: зная ребро данного куба, построить ребро такого куба, объём которого был бы вдвое больше объёма данного куба.

Обозначая ребро искомого куба через х, приходим к уравнению Принимая длину ребра данного куба за 1, получим: Из алгебры известно, что рациональные корни приведённого уравнения с целыми коэффициентами могут быть только целыми и содержатся среди делителей свободного члена уравнения. Но делителями числа 2 служат только числа и , и ни одно из них, как легко проверить, не удовлетворяет данному уравнению.

Рис. 203.

Рис. 204.

Следовательно, уравнение рациональных корней не имеет, а это означает (см. теорему § 3), что задача удвоения куба не может быть решена с помощью циркуля и линейки.

Заметим, однако, что задача удвоения куба может быть математически строго решена с привлечением других инструментов. Так, например, ещё около 400 г. до н. э. Платон наше а решение этой задачи с привлечением двух прямых углов.

Пусть данное ребро куба. Проведём через точку О прямую, перпендикулярную и отложим на ней отрезок (рис. 203).

Расположим два прямых угла так, чтобы: 1) вершина С первого угла оказалась на продолжении луча а вершина второго — на продолжении луча одна из сторон первого угла проходила через точку А и одна сторона второго — через В и 3) чтобы две другие стороны углов расположились на одной прямой

По известной теореме о перпендикуляре, проведённом из вершины прямого угла к гипотенузе треугольника, и так что или откуда следовательно, отрезок искомый.

Задача об удвоении куба может быть решена с помощью циркуля и линейки лишь приближённо. Приведём один из самых простых способов приближённого решения этой задачи.

Пусть причём (рис. 204). Строим Тогда с точностью до В самом деле

В то же время