§ 6. Понятие о группе преобразований

Пусть на плоскости задано некоторое движение Если точка образ точки в этом движении, то будем записывать это символом:

Пусть заданы два движения: и пусть произвольная точка плоскости. Пусть Таким путём возникает новое преобразование: которое является результатом последовательного выполнения двух данных движений Будем называть это новое преобразование произведением данных движений и обозначать символом

Если по определению И так как и то Следовательно, произведение двух движений есть движение.

Пусть заданы три движения и некоторая точка причём

Тогда так что С другой стороны, так что Следовательно, для любой точки т. е. преобразования переводят каждую точку плоскости в одну и ту же точку. Это свойство движений записывают так:

и называют сочетательным (или ассоциативным) свойством движений.

Пусть какое-либо заданное движение и пусть где любая точка плоскости. Так как движение есть

преобразование, то можно определить обратное ему преобразование так, чтобы (см. стр. 92). Если то При этом или, что то же, а это означает, что преобразование также есть движение.

Итак, для каждого движения существует обратное ему преобразование, которое также есть движение. Произведение или будет переводить каждую точку плоскости в себя:

Это — тождественное преобразование, которое иногда называют "единичным преобразованием" и обозначают символом

Приведённые рассуждения показывают, что движения на плоскости образуют группу: они обладают всеми групповыми свойствами, если в качестве групповой операции над двумя движениями принять последовательное их выполнение.

Нетрудно убедиться в том, что движения некоторых определённых видов, например всевозможные параллельные переносы или всевозможные вращения около некоторого определённого центра, образуют, в свою очередь, группу. Каждая из этих групп служит, понятно, подгруппой группы движений.

Помимо группы движений, в геометрии рассматриваются также различные другие группы преобразований, причём умножение преобразований всегда определяется как последовательное их осуществление.

Сочетательное свойство имеет место для любых геометрических преобразований: рассуждения, приведённые выше для доказательства сочетательности движений, дословно переносятся на любые преобразования. Поэтому, для того чтобы некоторая совокупность геометрических преобразований была группой (относительно "геометрического" умножения), необходимо и достаточно, чтобы: 1) произведение любых двух преобразований этой совокупности принадлежало той же совокупности (свойство "замкнутости"); 2) для каждого преобразования, произвольно избранного из совокупности к этой же совокупности принадлежало обратное преобразование.

Ясно, что каждая группа преобразований содержит тождественное преобразование, которое играет роль групповой единицы.

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

1. Что называется точечным преобразованием плоскости?

2. Приведите примеры точечных преобразований плоскости.

3. Во что преобразуется какая-либо прямая плоскости, если подвергнуть эту плоскость преобразованиям, перечисленным в примерах 1—4 параграфа 1?

4. Какое преобразование плоскости называется взаимно однозначным?

5. Назовите известные вам взаимно однозначные преобразования плоскости.

6. Что называется в геометрии движением на плоскости?

7. Чем определяется параллельный перенос?

8. Построить образ данного треугольника в данном параллельном переносе.

9. Как может быть задана осевая симметрия?

10. Построить образ данной прямой в осевой симметрии, заданной двумя точками.

11. Как осуществить поворот точки на данный угол около данного центра, пользуясь циркулем и линейкой?

12. Как построить образ данной точки, если вращение задано двумя соответственными отрезками?

13. В чём состоит преобразование центральной симметрии?

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)