§ 5. Примеры разыскания геометрических мест методами аналитической геометрии

В аналитической геометрии на плоскости линия определяется, как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют данному алгебраическому уравнению вида Задача разыскания ГМТ ставится здесь

Именно в том смысле, что ищется соответствующее уравнение, т. е. уравнение, которому удовлетворяют координаты каждой точки, обладающей указанным характеристическим свойством, и только они. Конечно, вид этого уравнения существенно связан с тем, как выбрана координатная система. Целесообразный выбор системы координат подсказывается конкретными условиями той или иной задачи. Иногда уравнение позволяет установить, какую именно элементарную фигуру представляет искомое геометрическое место точек.

Поясним сказанное некоторыми примерами.

Пример 1. Найти ГМТ, для которых сумма квадратов расстояний от двух данных точек плоскости равна квадрату данного отрезка.

Рис. 48.

Пусть две данные точки. Ищется геометрическое место точек, таких, что где а — данный отрезок.

Примем прямую за ось абсцисс прямоугольной системы координат, а за начало О системы координат возьмём середину отрезка Пусть (рис. 48) — произвольная точка искомого ГМТ, х, у — её координаты. Если обозначить через I, то при нашем выборе системы координат По известной формуле аналитической геометрии

и поэтому искомое ГМТ состоит из таких точек плоскости, для которых или

Из полученного уравнения видно, что точки, обладающие указанным характеристическим свойством, существуют, если т. е.

Если то эти точки образуют окружность с центром в точке О.

Для построения этой окружности достаточно построить какую-либо ей точку. Эту точку можно получить в пересечении окружностей и (которые непременно пересекутся, так как сумма их радиусов а больше расстояния между их центрами При искомая окружность пройдет через точки

При существует только одна такая точка, именно точка О.

Пример 2. Дана окружность и точка А (рис. 49). Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точку А с точками окружности

Рис. 49.

Пусть С — центр данной окружности, Примем точку А за начало прямоугольной системы координат, а прямую за ось абсцисс. Тогда, если считать направление от к С за положительное, точка С получает координаты и данная окружность получает уравнение: где -радиус. Пусть произвольная точка окружности соответствующая ей точка искомого ГМТ, — координаты точки Тогда так что и интересующее нас ГМТ представляется уравнением:

или

Это — окружность с центром и радиусом у.