§ 4. Инверсия окружности, не проходящей через центр инверсии

Теорема. При инверсии окружность, не проходящая через центр инверсии, преобразуется в окружность.

Доказательство. Пусть базисная окружность (рис. 146), данная окружность.

Рис. 146.

Проведем прямую и отметим точки её пересечения с окружностью у. Пусть инверсные им точки. Обозначим через произвольную точку окружности у, через инверсную ей точку. Соединим Из леммы об антипараллельных прямых вытекает, что Поэтому Следовательно, Таким образом, из точки отрезок виден под прямым углом. Значит, точка лежит на окружности с диаметром Обозначим эту окружность через у. Мы доказали, что каждая точка окружности у при инверсии преобразуется в точку окружности у. Исходя из свойств 1 и 2 § 1, можно доказать, что и наоборот: каждая точка окружности у является образом некоторой точки окружности Теорема доказана.

По ходу доказательства теоремы выясняется следующий способ построения окружности, инверсной данной окружности (если последняя не проходит через центр инверсии): 1) проводим прямую через центр инверсии О и центр данной окружности 2) отмечаем точки пересечения этой прямой с окружностью строим инверсные точки ) строим окружность на отрезке А В как на диаметре. Окружность у искомая.

Замечание. При всех ранее рассмотренных преобразованиях (перенос, вращение, симметрия, гомотетия) окружность преобразовывалась в окружность, причём центр данной окружности преобразовывался в центр образа этой окружности. Лица, изучающие геометрические построения, часто полагают, что аналогичное обстоятельство имеет место и для инверсии. Это неверно: если при инверсии окружность у преобразуется в окружность у, а центр окружности у преобразуется в точку то точка заведомо не будет центром окружности

Теорема. Две инверсно соответственные окружности можно рассматривать также как гомотетичные, причём центр гомотетии совпадаете центром инверсии, а. коэффициент гомотетии равен отношению радиусов.

Обратимся ещё раз к рисунку 146. Пусть вторая точка пересечения прямой с окружностью у. Тогда, с одной стороны, по лемме об антипараллельных прямых, а, с другой стороны, так как оба эти угла вписаны в окружность 1 и опираются на одну и ту же дугу Следовательно, Отсюда легко заключить, что а поэтому Таким образом, окружность 7 соответствует окружности у в гомотетии причём эта гомотетия переводит точку в точку (в то время как данная инверсия переводит