§ 2. Лемма об антипараллельных прямых

Для дальнейшего нам понадобится одно вспомогательное понятие.

Пусть некоторая прямая а пересекает обе стороны некоторого угла (рис. 139). В пересечении с какой-либо из сторон угла, например эта прямая образует четыре угла, из которых только один лежит внутри треугольника, отсекаемого прямой от угла

Рис. 139.

Рис. 140.

В дальнейшем, когда будет идти речь об угле между прямой и стороной угла, мы будем иметь в виду именно этот

Пусть теперь две прямые (рис. 140) пересекают стороны угла, причём одна из образует с одной из

сторон угла такой же угол, какой вторая прямая образует с другой стороной угла (на рис. Легко понять, что тогда и первая прямая образует со второй стороной угла такой же угол, какой образует вторая прямая с первой стороной угла

Рис. 141.

Рис. 142.

Определение. Две прямые, пересекающие стороны некоторого угла, называются антипараллельными относительно этого угла, если одна из них образует с одной из его сторон такой же угол, какой образует другая прямая с другой его стороной.

Антипараллельными являются прямые на рисунке 140, прямые на рисунке 141, где с

Антипараллельные прямые, вообще говоря, не параллельны. Исключение составляет только случай, когда обе прямые перпендикулярны к биссектрисе данного угла (рис. 142).

Теорема (лемма об антипараллельных прямых). Прямая, соединяющая две точки плоскости, и прямая, соединяющая две инверсные им точки, антипараллельны относительно угла с вершиной в центре инверсии и сторонами, проходящими через данные точки.

Доказательство.

Пусть базисная окружность, точки (рис. 143) инверсны соответственно точкам Тогда

Рис. 143.

так что Кроме того, в треугольниках и угол О общий. Следовательно, значит,

Таким образом, прямые и антипараллельны относительно угла что и требовалось доказать.

Если (рис. 143) каким-либо образом построены две соответственные в инверсии точки то доказанная лемма даёт простой приём построения образа произвольной точки В (не лежащей на прямой соединить и провести прямую так, чтобы

Предлагаем читателю применить эту же лемму для построения образа какой-либо точки прямой