§ 4. Задача на построение

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение — значит свести её к конечному числу основных построений, т. е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а следовательно и ход решения задачи, существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построений.

Рис. 8.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу: построить середину отрезка, заданного своими концами

Найдём решение этой задачи с помощью различных инструментов.

1. Циркулем и линейкой (рис. 8).

Строим последовательно:

1) прямую (основное построение 2 § 3);

2) окружность (осн. постр. 4);

3) окружность

4) общие точки окружностей

5) прямую (осн. постр. 2);

6) общую точку О прямых и (осн. постр. 6). Легко убедиться, что т. е. точка О искомая. 2. Циркулем (рис. 9).

Строим последовательно:

1) окружность со а, § 3);

2) окружность

3) общую точку С окружностей и § 1);

4) окружность

5) общую точку окружностей отличную от точки

6) окружность

7) общую точку окружностей отличную от С,

Рис. 9.

Заметим, что точки к расположены на одной прямой, причём Строим далее:

8) окружность

9) общие точки окружностей

10) окружность

11) окружность

12) общую точку X окружностей отличную от А.

Нетрудно усмотреть, что точка X расположена на прямой

Кроме того, треугольник подобен треугольнику так как они равнобедренные и имеют общий угол при основаниях. Поэтому или так что значит, точка X искомая.

3. Двусторонней линейкой (рис. 10). Строим последовательно:

1) прямую а, § 3);

2) прямую а, параллельную б) и проходящую на расстоянии от неё ширина линейки);

Рис. 10.

Рис. 11.

3) прямую параллельную а, отстоящую от неё на расстоянии и отличную от прямой

4) точку С на прямой § 1);

5) прямые и

6) точки ;

7) прямые

8) точку

9) прямую

10) точку

Так как -средняя линия треугольника то и его медианы, а следовательно, и -медиана, так что точка X искомая.

4. Прямым углом (рис. 11).

1) Строим прямую а, § 3);

2) проводим прямые и перпендикулярные прямой б);

3) выбираем на произвольную точку С, отличную от А и VIII, § 1);

4) через точку С проводим

Далее строим последовательно:

5) точку (акс. VII § 1);

6) прямые и

7) точку

8) прямую

9) точку

Точка X искомая.

Может оказаться, что какая-либо задача на построение имеет несколько различных решений, т. е. существует несколько различных фигур, удовлетворяющих всем условиям задачи. Так, например, к двум данным внешнерасположенным окружностям можно провести, как известно, четыре различные общие касательные.

Решить задачу на построение — значит найти все её решения.

Последнее определение требует некоторых разъяснений. Фигуры, удовлетворяющие условиям задачи, могут различаться как формой или размерами, так и положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое расположение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур. Поясним это примерами.

Рассмотрим следующую простейшую задачу: построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Точный смысл этой задачи состоит в следующем: построить треугольник так, чтобы две стороны его были соответственно равны двум данным отрезкам, а угол между ними был равен данному углу. Здесь искомая фигура (треугольник) связана с данными фигурами (два отрезка и угол) только соотношениями равенства, расположение же искомого треугольника относительно данных фигур безразлично. В этом случае легко построить треугольник удовлетворяющий условиям задачи. Все треугольники, равные треугольнику также удовлетворяют условиям задачи. Однако нет никакого смысла рассматривать эти треугольники как различные решения данной задачи, ибо они отличаются один от другого, только положением на плоскости, о чём в условии задачи ничего не сказано. Будем поэтому считать, что задача имеет единственное решение.

Итак, если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условиям задачи. Можно сказать, что задачи этого рода решаются "с точностью до равенства". Это означает, что задача считается решённой, если: 1) построено некоторое число неравных между собой фигур удовлетворяющих условиям задачи, и 2) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна одной из этих фигур. При этом считается, что задача имеет различных решений.

Рассмотрим теперь задачу несколько иного содержания: построить треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок другая сторона была равна другому данному отрезку а угол между ними был равен данному углу а.

Рис. 12.

В этом случае условие задачи предусматривает определённое расположение искомого треугольника относительно одной из данных фигур (именно относительно отрезка В связи с этим мы иначе смотрим на вопрос о построении всех решений этой задачи. Как видно из рисунка 12, может существовать до четырёх треугольников, удовлетворяющих условию этой задачи. Они равны между собой, но по-разному расположены относительно данной фигуры В этом случае полное решение задачи предусматривает построение всех этих треугольников. Считается, что задача имеет до четырёх различных решений, различающихся своим расположением относительно данной фигуры.

Итак, если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе). При этом даже равные фигуры, но различно расположенные относительно данных фигур, рассматриваются как различные решения данной задачи.

Встречаются задачи, имеющие бесконечно много решений, каковы, например, задачи; построить окружность данного радиуса.

касающуюся данной прямой; построить прямую, касательную к данной окружности; построить окружность, проходящую через две данные точки. Такого рода задачи называют неопределёнными. Конечно, не может идти речь о построении всех решений неопределённой задачи. Когда же считать неопределённую задачу решённой?

Решение неопределённой геометрической задачи на построение проводится в известном смысле аналогично тому, как решаются в алгебре неопределённые уравнения или неопределённые системы уравнений. Решение неопределённого алгебраического уравнения или неопределённой системы алгебраических уравнений состоит в том, что искомые величины выражаются через один или несколько параметров, принимающих произвольные значения из некоторой определённой области. Например, решение системы

представляется в виде:

где параметр может принимать произвольные значения из области которая определяется условием задачи. Точно так же решение неопределённой геометрической задачи ищется в своего рода параметрической форме. Указывается приём построения фигур, удовлетворяющих условиям задачи, причём эти фигуры определяются выбором положения одной или нескольких произвольных точек на некоторых данных или построенных фигурах. Эти точки играют роль "геометрических параметров". Задача считается решённой, если при всевозможных допустимых положениях произвольных точек возникают все фигуры, удовлетворяющие условиям задачи.

Рис. 13.

Поясним эти соображения примерами.

1. Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой.

Изберём на данной прямой произвольную точку Строим окружности, имеющие данный радиус и касающиеся данной прямой в точке Таких окружностей две (построение их не вызывает затруднений). При всевозможных положениях точки на данной прямой мы при том же приёме построения получим все окружности, удовлетворяющие условиям задачи. Задача считается решённой.

2. Построить окружность, проходящую через две данные точки (рис. 13).

Проведём прямую перпендикулярно отрезку через середину этого отрезка. Изберём на прямой произвольную точку и укажем приём построения окружности с центром проходящей

через данные точки Замечаем, что при всевозможных положениях точки на прямой возникают все решения данной задачи. После этого считаем, что задача решена.

Может оказаться, что фигуры, обладающей указанными в задаче свойствами, вовсе не существует. Так, например, нельзя построить окружность, вписанную в данный прямоугольник, если он не является квадратом, нельзя построить общую касательную к двум концентрическим окружностям. Может случиться также, что решение задачи существует, но не может быть найдено данными средствами. Например, нельзя, конечно, построить прямую, соединяющую две данные точки, располагая только циркулем, или провести окружность, проходящую через три данные точки, располагая только линейкой. В дальнейшем нам встретятся более содержательные примеры этого рода. Так, в главе VII, § 1 будет показано, что задача о построении середины отрезка, которая решена выше различными инструментами, неразрешима, если пользоваться только односторонней линейкой. Во всех этих случаях решить задачу на построение — значит доказать, что искомая фигура не существует или, соответственно, что она не может быть построена данными средствами.

Иногда задача не имеет решений потому, что на искомую фигуру наложено слишком много условий. Например, нельзя, вообще говоря, построить окружность, проходящую через четыре заданные точки, или построить треугольник, зная три его стороны и один из углов. Задачи такого рода называются переопределёнными.

Для ориентировки полезно знать, сколько независимых условий обычно достаточно для определения искомой фигуры. Известно, что для построения треугольника (если по условию задачи его положение не фиксировано) достаточно знать три условия, например две стороны и угол. Можно показать, что для построения произвольного -угольника нужно знать условий (см. об этом, например, [25], стр. 25—26). Так, для построения четырёхугольника достаточно задать пять условий: например, указать, что он представляет трапецию, и задать две его стороны и две диагонали.

Условие задачи часто даёт известный простор в выборе данных. Так, например, если требуется построить треугольник по трём сторонам, то данными являются три отрезка, которые могут быть произвольными как по величине, так и положению. Или если требуется провести касательную

к данной окружности из данной точки, то данная окружность может быть любой окружностью на плоскости, причём данная точка может оказаться внутри, вне или на данной окружности. Задача в такой формулировке может считаться полностью решённой лишь в том случае, если она решена для всех возможных предположений относительно выбора данных. Может оказаться, что при одном выборе данных задача решается совершенно иначе, чем при другом их выборе, так что приходится рассматривать ряд отдельных случаев и давать решение задачи для каждого из них. Например, задача о проведении касательной к окружности через данную точку решается (циркулем и линейкой) по-разному в трёх возможных случаях:

1-й случай. Точка задана внутри окружности. Задача не имеет решения.

2-й случай. Точка расположена на данной окружности. Задача имеет единственное решение. Построение общеизвестно: достаточно провести радиус окружности в данную точку и провести через точку прямую, перпендикулярную к этому радиусу.

3-й случай. Точка расположена вне данной окружности. Задача имеет два различных решения. Соответствующее построение рассматривается в школьном курсе геометрии (см., например, [9], п. 128, 2).

В ближайших разделах излагается теория геометрических построений, производимых циркулем и линейкой, которая особенно важна для учителя средней школы. Изучение построений с этими инструментами даёт представление об основных идеях и методах конструктивной геометрии вообще. Некоторые сведения о построениях с другими инструментами приводятся в главах VII и VIII.