§ 5. Замечание о решении неопределённых задач

Понятие о геометрических преобразованиях подсказывает новый целесообразный подход к вопросу о полном решении неопределённой задачи на построение (см. § 4, гл. I).

Во многих случаях удаётся указать одно или несколько решений неопределённой задачи, из которых все остальные её решения могут быть получены с помощью тех или иных геометрических преобразований. В этих случаях полученное решение задачи естественно считать полным "с точностью до преобразований", которые должны быть соответствующим образом определены.

Пример 1. Построить окружность, касающуюся двух данных параллельных прямых (рис. 107).

Рис. 107.

Избирая в качестве точки касания произвольную точку А на прямой а, мы получаем конкретное решение поставленной задачи — окружность Если дополнить это решение указанием, что все остальные решения могут быть получены из путём переноса на произвольный вектор, носитель которого параллелен данным прямым, то можно считать, что задача получила полное решение. В данном случае естественно считать, что задача имеет единственное решение "с точностью до переноса".

Пример 2. Построить окружность данного радиуса касающуюся данной окружности радиуса

Рассуждая аналогично предыдущему, мы найдём, что задача имеет два решения "с точностью до поворота" на произвольный угол около центра данной окружности (см. рис. 108).

Пример 3. Задача 4 из § 4 имеет бесконечное множество решений. С точностью до переноса по направлению данных прямых и до отражений в прямых, перпендукулярных данным, будем считать, однако, что различных решений три.

Рис. 108.