§ 18. СРЕДНЯЯ СКОРОСТЬ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ РАВНОУСКОРЕННОМ ДВИЖЕНИИ. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ И СКОРОСТЬЮ

Часто бывает необходимо знать среднюю скбрость при равноускоренном движении. Как ее вычислить? Мы знаем, что

Но, с другой стороны, как мы видели (см. § 17),

Сравнивая эти формулы, получим:

Средняя скорость при равноускоренном движении равна полусумме начальной и конечной скорости.

Такое простое выражение для средней скорости получается благодаря тому, что график скорости — это прямая линия, т. е. скорость и время связаны линейной зависимостью.

Иногда бывает нужно вычислить перемещение тела, движущегося равноускоренно, когда неизвестно, сколько времени протекло от начала движения, но известны значения начальной и конечной скорости тела. Формулу, позволяющую вычислить перемещение, можно получить из формулы (2) и формулы

Найдем из последней формулы значение

и подставим его в формулу (2). Получаем:

Отсюда

Мы получили, таким образом, формулу, позволяющую вычислить перемещение, если известны начальная и конечная скорость и ускорение.

Пользуясь формулой (5), можно также найти значение скорости тела в любой точке, через которую проходит тело. Из формулы (5) следует:

или

Откуда

Если начальная скорость тела равна нулю, то

Задача. При подходе к станции машинист выключил двигатель локомотива, после чего движение происходило с постоянным ускорением, равным Какое перемещение поезд совершил до остановки, если в момент выключения двигателя скорость поезда была 72 км/ч? Через сколько времени поезд остановился?

Решение. Направим ось X так же, как направлена скорость поезда . Следовательно, его ускорение будет направлено противоположно оси. За начало отсчета времени мы примем момент выключения двигателя, а за начало отсчета координат — точку, в которой двигатель был выключен. Перемещение, отсчитанное от этой точки, вычисляем по формуле

Подставляя в эту формулу

получаем:

Время, протекшее до остановки, находим но формуле

Так как

Поезд остановился через 3 мин 20 сек после выключения двигателя в 2 км от места выключения.

Упражнение 11

1. Троллейбус, трогаясь с места, движется с постоянным ускорением Какое он пройдет расстояние к моменту, когда его скорость станет равной 54 км/ч?

2. Наблюдения показали, что скаковая лошадь достигает своей наибольшей скорости в 15 м/сек после того, как она, приняв старт, «разгонится» на протяжении 30 м. С каким ускорением скачет лошадь на этом участке?

3. Чтобы оторваться от земли, самолет должен набрать скорость в 180 км/ч. На каком расстоянии от места старта на взлетной дорожке самолет достигнет этого значения скорости, если его ускорение постоянно и равно

4. Пассажирский поезд тормозит и движется при этом с ускорением На каком расстоянии от места включения тормоза скорость станет 3,87 м/сек, если в момент начала торможения скорость была 54 км/ч?