§ 24. ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ. УГОЛ ПОВОРОТА И УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ

Движение тела по окружности можно описывать тем же способом, которым пользуются при описании прямолинейного движения. Но часто более удобным оказывается другой способ, с которым мы сейчас ознакомимся.

Представим себе, что некоторое тело движется по окружности радиусом (рис. 65). Проведем из центра О окружности радиус

к какой-нибудь течке тела А и будем следить не только за самим телом, но за радиусом, проведенным к нему. Мы увидим, что, по мере того как тело движется, радиус поворачивается. Если, например, тело за промежуток времени переместилось из точки А в точку В, то за это же время радиус повернулся на угол Этот угол мы будем называть углом поворота радиуса. О движении тела можно, следовательно, сказать, во-первых, что тело за промежуток времени прешло путь по дуге окружности, во-вторых, что оно совершило перемещение в, модуль которого равен длине хорды и, в-третьих, что радиус, проведенный к телу, совершил псвсрот на угол

Если бы тело двигалось по окружности другого радиуса (см. рис. 65), то длина пройденного пути была бы больше. Большей была бы и длина перемещения Угол же поворота ради в обоих случаях остается одним и тем же. Так, конец минутной стрелки маленьких ручных часов за 15 мин проходит путь длиной сколо 1,5 см. За это же время конец минутной стрелки огромных башенных часов (например, часов Спасской башни Кремля) проходит путь длиной в несколько метров. Но минутные стрелки всех часов в мире за четверть часа поворачиваются на один и тот же угол — 50° (рис. 66).

Если мы снова Еернемся к рисунку 65, то увидим, что у тел, движущихся по окружностям с радиусами равны не только угли псссрсга. В обоих случаях одинаковы и отношения длины дуги к радиусу:

По какой бы окружности ни двигалось тело, при равных углах поворота радиуса равны и отношения длины дуги к радиусу. Поэтому и сами углы можно измерять величиной этого отношения

Рис. 65

Рис. 66

При таком измерении углов за единицу измерения угла удобно принять не градус, а угол, соответствующий дуге, длина которой I равна радиусу потому что тогда угол будет равен единице. Такая единица измерения угла сейчас общепринята в науке, и называют ее радианом (сокращенно рад).

Радиан — это угол между двумя радиусами круга, вырезающий на окружности дугу, длина которой равна радиусу.

Легко установить связь между градусом и радианом.

Когда тело (или точка) совершит один полный оборот по окружности радиусом то длина пройденной дуги будет равна Поэтому величина угла в радианах равна:

Следэзательно, один оборот — это поворот радиуса на угол рад. В градусной мере этот же угол равен Отсюда

Таким образом, длина дуги, пройденной телом, и угол поворота радиуса, проведенного к нему, связаны формулой

Скорость равномерного движения тела по окружности тоже можно выражать в угловых единицах. Для этого используют понятие угловой скорости.

Под угловой скоростью мы будем понимать отношение угла поворота радиуса, проведенного к телу, к промежутку времени, в течение которого совершен этот поворот. Угловую скорость обозначают греческой буквой со (омега), так что

Так как здесь угол выражен в радианах, а время в секундах, то угловая скорость со измеряется в радианах в секунду (рад/сек).

В отличие от угловой скорости скорость измеряемую отношением длины пути ко времени и выражаемую в метрах в секунду, называют линейной скоростью. Между угловой скоростью со и линейной скоростью очень простая связь. Если в выражение для угловой скорости подставить вместо его значение то мы получим:

Так как в свою очередь то или

Линейная скорость точки равна произведению угловой скорости на радиус окружности, по которой происходит движение.

Скорость движения тела по окружности часто выражают также числом оборотов в единицу времени. Легко связать угловую скорость с числом оборотов в единицу времени. Действительно, при одном обороте радиус поворачивается на угол в рад. Значит, совершив в единицу времени, например, оборотов, радиус повернется на угол рад. Поэтому угловая скорость и число оборотов в единицу времени связаны выражением

Число оборотов в единицу времени обычно называют также частотой вращения. Величина, обратная частоте, определяет время, за которое тело делает один оборот. Это время называют периодом вращения и обозначают буквой Т:

Упражнение 15

1. Что такое угловая скорость? В каких единицах ее измеряют?

2. Как связаны между собой угловая и линейная скорость?

3. Вычислите угловую и линейную скорость движения Земли вокруг Солнца. Радиус орбиты Земли считать равным 150 000.000 км.

4. Какова линейная скорость конца минутной стрелки часов на Спасской башне Московского Кремля, если длина стрелки 3,5 м? Сравните угловую скорость этой стрелки с угловой скоростью минутной стрелки ручных часов.