§ 55. ДВИЖЕНИЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ: ТЕЛО БРОШЕНО ПОД УГЛОМ К ГОРИЗОНТУ

Довольно часто приходится иметь дело с движением тел, получивших начальную скорость не параллельно силе тяжести, а направленную под некоторым углом к ней (или к горизонту). Когда, например, спортсмен толкает ядро, метает диск или копье, он сообщает этим «предметам» именно такую начальную скорость. При артиллерийской стрельбе стволам орудий придается некоторый угол возвышения, так что вылетевший снаряд тоже получает начальную скорость, направленную под углом к горизонту.

Будем считать, что силой сопротивления воздуха можно пренебречь. Как в этом случае движется тело?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим следующий несколько искусственный способ бросания тела под углом к горизонту.

Представим себе автомобиль, движущийся равномерно в горизонтальном направлении со скоростью Пассажир в автомобиле бросает какое-нибудь тело с начальной скоростью вертикально вверх. Это значит, что пассажир видит тело поднимающимся в вертикальном направлении. А как направлена эта скорость относительно Земли?

Вспомним, что говорилось в § 11 об относительности движения. Ясно, что автомобиль — это подвижное тело отсчета, а Землю можно считать неподвижным телом отсчета. Тогда скорость тела относительно Земли будет равна векторной сумме скоростей Из рисунка 132 видно, что относительно Земли начальная скорость направлена к горизонту под некоторым углом а. Следовательно, тело, брошенное с движущегося автомобиля вверх, движется относительно Земли так, как будто бы оно было брошено неподвижным «метателем» под углом а к горизонту.

Проследим теперь за дальнейшим движением тела.

Поместим начало неподвижной системы координат в точку, где автомобиль находился в момент броска. Направим ось X вдоль направления движения автомобиля, а ось по вертикали вверх (именно поэтому мы обозначили скорость по горизонтали через а по вертикали через ). С автомобилем мы свяжем систему координат направив оси параллельно осям X и Y (рис. 133). Это подвижная система координат.

Каким будет движение тела относительно каждой из этих систем координат?

Рис. 132

Рис. 133

Относительно подвижной системы координат, т. е. для пассажира в автомобиле, движение тела — это просто движение по вертикали вверх вдоль оси Это равноускоренное движение с ускорением которое сообщает телу сила тяжести

Но относительно Земли сама ось перемещается вдоль оси X с постоянной скоростью

Отметим положения тела по оси У и положения самой этой оси через равные промежутки времени (например, через каждую секунду). Из рисунка 134 видно, что сначала тело удаляется от наблюдателя на автомобиле вертикально вверх. В некоторый момент времени тело достигнет максимальной высоты в точке В, где его скорость по оси У равна нулю. Для наблюдателя на Земле тело в этот момент движется горизонтально со скоростью автомобиля

В § 21 мы видели, что время подъема на максимальную высоту

где — начальная скорость, с которой тело было брошено вверх.

Рис. 134

В нашем случае так что тело достигнет точки В по истечении времени

Используя полученную в § 21 формулу для максимальной высоты подъема тела, брошенного вертикально вверх найдем, что в нашем случае

Начиная с того момента, в который тело достигло точки В, наблюдатель на автомобиле будет видеть, что тело падает вниз все с тем же ускорением При этом через такие же последовательные промежутки времени тело будет занимать на оси те же положения, что и при подъеме, но в обратном порядке.

В § 21 было показано, что время падения тела равно времени его подъема. Поэтому еще через промежуток времени, тоже равный тело снова окажется в автомобиле. Значит, полное время движения тела

Относительно Земли за этот промежуток времени сама ось вместе с телом продвинулась вдоль оси X на расстояние — это дальность полета тела. Обозначим ее через .

Следовательно,

Соединив точки, через которые последовательно проходит тело, плавной кривой, мы получим траекторию движения тела относительно Земли. Эту кривую называют параболой.

Задача. Самоходная зенитная пушка, установленная на автомашине, во время испытаний запустила вертикально вверх снаряд с начальной скоростью 600 м/сек. В момент выстрела автомашина двигалась со скоростью 21,6 км/ч. После выстрела автомашина остановилась. Как далеко от места выстрела упадет снаряд? До какой высоты он поднимется? Через какое время он упадет на землю?

Считать, что на снаряд действует только сила тяжести (силой сопротивления воздуха пренебречь).

Решение. Дальность полета снаряда можно вычислить по формуле

а максимальную высоту подъема снаряда по формуле

Скорость это скорость автомобиля. Следовательно, Подставив эти значения в формулы (1) и (2), получим:

и

Теперь найдем время полета снаряда. Оно равно:

Полученные в этом параграфе формулы для дальности и времени полета тела, брошенного под углом к горизонту, содержат величины проекции начальной скорости на оси . Между тем обычно бывают известны сама начальная скорость и угол а, который вектор образует с горизонтальной осью X.

Из рисунков 132 и 134 видно, что

откуда

Точно так же

и

Пользуясь этими выражениями для можно формулу для дальности полета написать в таком виде:

Максимальную высоту, на которую поднимется тело, можно теперь выразить формулой

Таким образом и дальность, и максимальная высота полета определяются значениями начальной скорости и угла а, под которым брошено тело.

Из формулы для дальности полета видно, что дальность полета будет наибольшей при заданной начальной скорости у, когда максимально значение произведения Можно доказать, что это произведение максимально при .

Упражнение 32

При ответах на вопросы этого упражнения считать, что трением можно пренебречь.

1. По какой траектории движется тело, брошенное под углом к горизонту?

2. Какая сила действует на тело, брошенное под углом к горизонту, во время его движения?

3. Можно ли движение тела, брошенного под углом к горизонту, считать равноускоренным?

4. С каким ускорением движется тело, брошенное под углом к горизонту? Как направлено ускорение?

5. Постройте траекторию движения тела, брошенного под углом 60° к горизонту. Масштаб чертежа выбрать самостоятельно.

6. Начальная скорость полета спортивного ядра при толкании равна 14 м/сек. На какую наибольшую высоту над поверхностью Земли поднялось ядро, если оно выпущено из точки, находящейся на высоте 2 м? Угол, под которым был сделан толчок, равен 45°.

7. Снаряд, выпущенный из артиллерийского орудия, поразил цель на расстоянии 25 км. Какова начальная скорость снаряда, если известно, что угол возвышения орудия был равен 45°?