§ 77. РАБОТА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ

Полезно ознакомиться в отдельности с работой каждой из механических сил, с которыми мы ознакомились в пятой главе: силы тяжести, силы упругости и силы трения. Начнем с силы тяжести. Сила тяжести равна и направлена по вертикали вниз. Вблизи поверхности Земли ее можно считать постоянной. При движении тела по вертикали вниз сила тяжести совпадает по направлению с перемещением. При переходе с высоты над каким-то уровнем, от которого мы начинаем отсчет высоты, до высоты над тем же уровнем (рис. 192), тело совершает перемещение, по абсолютной величине равное Так как направления перемещения и силы совпадают, то работа силы тяжести положительна и равна:

Рис. 192

Высоты не обязательно отсчитывать от поверхности Земли. Для начала отсчета высот можно выбрать любой уровень. Это может быть пол комнаты, стол или стул, это может быть и дно ямы, вырытой в земле, и т. д. Ведь в формулу для работы входит разность высот, а она не зависит от того, откуда начинать их отсчет. Мы могли бы, например, условиться начинать отсчет высоты с уровня В (см. рис. 192). Тогда высота этого уровня была бы равна нулю, а работа выражалась бы равенством

где — высота точки над уровнем В.

Если тело движется вертикально вверх, то сила тяжести направлена против движения тела и ее работа отрицательна. При подъеме тела на высоту над тем уровнем, с которого оно брошено, сила тяжести совершает работу, равную

Если после подъема вверх тело возвращается в исходную течку, то работа на таком пути, начинающемся и кончающемся в одной и той же точке (на замкнутом пути), на пути «туда и обратно», равна нулю. Это одна из особенностей силы тяжести: работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Теперь выясним, какую работу совершает сила тяжести в случае, когда тело движется не по вертикали.

В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости (рис. 193). Допустим, что тело массой по наклонной плоскости высотой совершает перемещение по абсолютной величине равное длине наклонной плоскости. Работу силы тяжести в этом случае надо вычислять по формуле . Но из рисунка видно, что

Поэтому

Мы получили для работы то же самое значение.

Выходит, что работа силы тяжести не зависит от того, движется ли тело по вертикали или

Рис. 193

Рис. 194

проходит более длинный путь по наклонной плоскости. При одной и той же «потере высоты» работа силы тяжести одинакова (рис. 194).

Это справедливо не только при движении по наклонной плоскости, но и по любому другому пути. В самом деле, допустим, что тело движется по какому-то произвольному пути, например по такому, какой изображен на рисунке 195. Весь этот путь мы можем мысленно разбить на ряд малых участков: Каждый из них может считаться маленькой наклонной плоскостью, а все движение тела на пути можно представить как движение по множеству наклонных плоскостей, переходящих одна в другую. Работа силы тяжести на каждой такой наклонной плоскости равна произведению на изменение высоты тела на ней. Если изменения высот на отдельных участках равны то работы силы тяжести на них равны и т. д. Тогда полную работу на всем пути можно найти, сложив все эти работы:

Но

Следовательно,

Таким образом, работа силы тяжести не зависит от траектории движения тела и всегда равна произведению силы тяжести на разность высот в исходном и конечном положениях. При движении вниз работа положительна, при движении вверх — отрицательна»

Почему же в технике и быту при подъеме грузов часто пользуются наклонной

Рис. 195

Рис. 196

плоскостью? Ведь работа перемещения груза по наклонной плоскости такая же, как и при движении по вертикали!

Это объясняется тем, что при равномерном движении груза по наклонной плоскости сила, которая должна быть приложена к грузу в направлении перемещения, меньше силы тяжести. Правда, груз при этом проходит больший путь. Больший путь — это плата а то, что по наклонной плоскости груз можно поднимать с помощью меньшей силы.

Задача, Шарик массой скатывается по рельсам, образующим круговую петлю радиусом (рис. 196). Какую работу совершает сила тяжести к моменту, когда шарик достигает высшей точки петли С, если в начальный момент он находится на высоте Н над нижней точкой петли?

Решение. Работа силы тяжести равна произведению ее значения на разность высот начального и конечного положений шарика. Начальная высота равна Н, а конечная, как это видно из рисунка, равна . Следовательно,

Упражнение 49

1. Зависит ли работа силы тяжести от длины траектории тела, на которое она действует? От массы тела?

2. Чему равна работа силы тяжести, если движущееся тело, на которое она действует, пройдя некоторую траекторию, вернулось к исходной точке?

3. Тело брошено под некоторым углом к горизонту. Описав параболу, тело упало на землю. Чему равна работа силы тяжести, если начальная и конечная точки траектории лежат на одной горизонтали?

4. Какая сила совершает работу при движении тела без трения по наклонной плоскости? Зависит ли эта работа от длины наклонной плоскости?

5. Камень массой брошен так, что он описал траекторию, показанную на рисунке 197, а. Какова работа силы тяжести при таком движении камня? Сравните ее с работой при движении того же камня по траекториям, изображенным на рисунках 197, б и в.

6. Какую работу совершает человек массой 75 кг, когда он поднимается по лестнице с первого этажа до пятого, если высота каждого этажа равна (Движение человека считать равномерным)

7. Тело массой 2 кг брошено вертикально вверх и поднялось на высоту 10 м. Качая по величине и по знаку работа совершена силой тяжести?

Рис. 197

Рис. 198

8. Лыжник спускается с горы высотой 60 м. Тотчас после спуска он оказывается на склоне соседней горы и поднимается по ней на высоту 40 м (рис. 198), Какую по величине и по знаку работу совершает сила тяжести при этом движении лыжника? Масса лыжника равна 80 кг.

9. Маятник совершает одно полное колебание. Какова работа силы тяжести при этом движении маятника?