§ 25. УСКОРЕНИЕ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА ПО ОКРУЖНОСТИ

Вернемся теперь к нашей задаче — найти ускорение, с которым тело движется по окружности с постоянной по модулю скоростью.

Ускорение, как известно, определяется по формуле

где — скорость тела в некоторый начальный момент времени, а — его скорость через промежуток времени . В нашем случае модули скоростей и равны друг другу.

Предположим, что тело движется по окружности радиусом и что в некоторый момент времени оно находится в точке А (рис. 67).

Чему равно ускорение в этой точке? Скорость в этой точке направлена по касательной к окружности в точке А. Через сек тело оказывается в точке В, и скорость его теперь

Рис. 67

Рис. 68

направлена по касательной к окружности в точке В. По модулю скорости и 10 равны (длины стрелок и одинаковы).

Мы хотим найти ускорение в точке А окружности (мгновенное ускорение). Поэтому точки А и В мы должны взять близкими друг к другу, настолько близкими, чтобы дуга как бы стянулась в точку.

Выясним сначала, как направлено это ускорение.

Проведем из центра О окружности радиусы к точкам А и В. Радиус окружности перпендикулярен к касательной в точке касания, следовательно, радиусы и перпендикулярны векторам и Чтобы узнать направление вектора ускорения, нужно найти вектор, равный разности векторов и Его направление — это и есть направление вектора ускорения. Как производят вычитание векторов, мы уже знаем (см. § 6). Чтобы найти разность векторы и расположим так, чтобы они исходили из одной точки (рис. 68), и соединим их концы, направив стрелку от вычитаемого к уменьшаемому (от конца вектора к концу вектора Вектор и есть разность векторов Следовательно, вдоль вектора направлено ускорение. Что можно сказать об этом направлении?

Треугольник (см. рис. 68) равнобедренный. Угол при вершине А равен углу между радиусами и (рис. 67), так как они образованы взаимно перпендикулярными сторонами. Точки А и В расположены близко друг к другу, поэтому угол очень мал (близок к нулю). Каждый из углов при основании треугольника близок к прямому, так как сумма углов треугольника равна двум прямым. Это означает, что вектор

Рис. 69

перпендикулярно вектору скорости. Значит, и ускорение перпендикулярно скорости. Но скорость направлена по касательной к окружности в точке А, а касательная перпендикулярна радиусу. Значит, и ускорение направлено по радиусу к центру окружности. Его поэтому называют центростремительным ускорением.

При равномерном движении тела по окружности ускорение в любой ее точке перпендикулярно скорости движения и направлено к центру окружности.

Эта интересная особенность ускорения при движении по окружности с постоянной по модулю скоростью показана на рисунке 69.

Найдем теперь модуль центростремительного ускорения. Для этого нужно найти, чему равно абсолютное значение величины Из рисунка 68 видно, что модуль разности векторов равен длине отрезка Так как угол очень мал, то отрезок мало отличается от дуги окружности (показанной пунктиром) с центром в точке А. Радиус этой окружности численно равен Но, как мы знаем (см. § 24), длина такой дуги равна Следовательно, Абсолютное значение ускорения равно . Но угловая скорость . Поэтому

Ускорение тела, дсихсущаося по окружности, рлбно произведению его линейной скорости и угловой скорости поворота радиуса, проведенного к телу.

Формулу для центростремительного ускорения удобнее представить в таком виде, чтобы в нее входила величина радиуса окружности, по которой движется тело. Так как угловая и линейная скорости связаны соотношением ( — радиус окружности), то, подставив это выражение в формулу получим:

Но поэтому формулу для центростремительного ускорения можно записать еще и так:

При равномерном движении по окружности тело движется с

ускорением, которое направлено по радиусу к центру окружности и модуль которого определяется выражением

Следовательно, верно и обратное: если известно, что скорость тела равна и ускорение тела во всех точках перпендикулярно вектору его скорости и по абсолютному значению равно то можно утверждать, что такое тело движется по окружности, радиус которой определяется формулой

Значит, если нам известны начальная скорость тела и абсолютное значение его центростремительного ускорения, мы можем изобразить окружность, по которой тело будет двигаться, и найти его положение в любой момент времени (начальное положение тела должно быть, конечно, известно). Тем самым будет решена основная задача механики.

Напомним, что ускорение при равномерном движении по окружности нас интересует потому, что всякое движение по криволинейной траектории представляет собой движение по дугам окружностей различных радиусов.

Теперь мы можем сказать, что при равномерном движении в любой точке криволинейной траектории тело движется с ускорением, направленным к центру той окружности, частью которой является данная траектория вблизи этой точки. Численное же значение ускорения зависит от скорости тела в этой точке и от радиуса соответствующей окружности. На рисунке 70 показана некоторая сложная траектория и указаны векторы центростремительного ускорения в различных точках траектории.

Задача. Самолет, выходя из пике, движется по дуге, которая в нижней своей части является дугой окружности радиусом 500 м (рис. 71). Вычислите ускорение самолета в наинизшей точке, если его скорость равна 800 км/ч, и сравните полученное значение с ускорением свободного падения.

Рис. 70

Рис. 71

Решение. Ускорение самолета вычисляем по формуле

Подставив сюда значения

получаем:

Так как

Упражнение 16

1. Как направлено ускорение тела, движущегося по окружности с постоянной по модулю скоростью?

2. Если при движении тела по окружности модуль его скорости изменяется, будет ли ускорение тела направлено к центру окружности?

3. Можно ли считать движение по окружности с постоянным по модулю ускорением равноускоренным движением?

4. Точильный круг, радиус которого равен 10 см, при вращении делает 1 оборот за 0,2 сек. Найдите скорость точек, наиболее удаленных от оси вращения.

5. Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 100 м со скоростью 54 км/ч. Какова величина центростремительного ускорения автомобиля?

6. Период обращения первого корабля-спутника «Восток» вокруг Земли равнялся 90 мин. Среднюю высоту корабля-спутника над Землей можно считать равной 320 км. Радиус Земли равен 6 400 км. Вычислите скорость корабля.

7. Какова скорость движения автомобиля, если его колеса радиусом 30 см делают 10 оборотов в 1 сек?

8. Два шкива, радиусы которых , соединены бесконечным ремнем. Период вращения шкива меньшего радиуса равен 0,5 сек. Какова скорость перемещения точек ремня? Каков период вращения второго шкива?

9. Луна движется вокруг Земли на расстоянии 385 000 км от нее, совершая один оборот за 27,3 суток. Вычислите центростремительное ускорение Луны.