§ 8. ПРЯМОЛИНЕЙНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ

Мы уже знаем, что, для того чтобы найти положение тела в какой-то момент времени, нужно знать вектор- перемещения, потому что именно он связан с изменением координат движущегося тела: проекции вектора перемещения точки на координатные оси просто равны изменениям ее координат.

Как же найти вектор перемещения? Что для этого нужно знать? Ответ на этот вопрос зависит от того, какой вид движения совершает тело.

Рассмотрим сначала самый простой вид движения — прямолинейное равномерное движение.

Прямолинейным равномерным движением называют движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.

При движении тела вдоль прямой в одном направлении перемещение тела непрерывно возрастает. Чтобы найти перемещение за время надо знать, как быстро оно возрастает. Быстрота этого возрастания определяется отношением перемещения к величине промежутка времени в течение которого оно произошло. Это отношение называют скоростью движения и обозначают буквой V. Так как перемещение — величина векторная, а время — скалярная величина, то скорость тоже векторная величина:

Скоростью равномерного, прямолинейного движения тела называют величину, равную отношению перемещения тела к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло.

Скорость, таким образом, показывает, какое перемещение тело совершает в единицу времени.

Следовательно, для того чтобы найти перемещение тела, надо знать его скорость Тогда перемещение тела можно вычислить по формуле

Вектор перемещения направлен, разумеется, так же, как вектор скорости, потому что время — величина скалярная.

При прямолинейном движении траекторией является прямая линия. Естественно поэтому направить координатную ось вдоль этой прямой. Если, например, речь идет о движении падающего тела, то координатную ось следует направить по вертикали; если рассматривается движение автомобиля по прямой и ровной дороге, то разумно направить вдоль нее и координатную ось. В этом случае при движении тела будет изменяться только одна координата, например координата если выбранную ось обозначить через X. Вдоль этой оси будут направлены и вектор перемещения, и вектор скорости тела.

Так как векторы и равны, то равны и их проекции на ось X, т. е.

Это позволяет нам найти координату тела в любой момент времени. Мы знаем, что

поэтому

Эта формула показывает, что при прямолинейном равномерном движении координата тела линейно зависит от времени.

Рис. 27

В формуле (1) величины могут быть как положительными, так и отрицательными.

Если вектор скорости направлен так же, как и ось X (рис. 27, а), то проекция скорости на ось X будет положительна и поэтому

где — абсолютное значение (модуль) вектора скорости. Тогда

Если же направление вектора скорости противоположно направлению оси X (рис. 27, б), то проекция скорости на ось X отрицательна и Поэтому

Формулы и (16) удобны тем, что из них сразу видно, как направлен вектор скорости: по направлению оси Хили противоположно ему. Когда тело движется по оси, то по значению проекции его скорости на эту ось можно найти и сам вектор скорости. Ведь их абсолютные значения совпадают, а знак проекции определяет направление скорости. Поэтому в дальнейшем в таких случаях мы часто для краткости будем называть скоростью тела значение ее проекции на эту ось.

Формулы (1а) и (1б) позволяют найти положение точки в любой момент времени при прямолинейном равномерном движении. Для этого надо знать начальное положение точки (тела) и его скорость Эти же формулы ясно показывают, каков смысл величины скорости. Модуль скорости равен абсолютному значению величины Но — это изменение координаты, это время, за которое такое изменение произошло. Следовательно, скорость тела равна изменению координаты в единицу времени, она показывает, как быстро изменяется координата тела.

Но если известен только модуль скорости, то мы еще не можем решить задачу механики. Счетчики километров и спидометры, устанавливаемые в автомобилях, показывают именно модули величин перемещения и скорости. Но по их показаниям нельзя узнать ни

Рис. 28

направления движения автомобиля, ни его положения в любой момент времени.

Задача. По дороге, идущей с запада на восток, навстречу друг другу движутся два автомобиля: один — на восток со скоростью 60 км/ч, другой — на, запад со скоростью 90 км/ч. У заправочной станции автомобили встретились и после этого продолжали свой путь (рис. 28). Определите положение каждого автомобиля через 30 мин после встречи и расстояние между ними в этот момент.

Решение. Заправочную станцию естественно принять за начало отсчета координат, а момент встречи автомобилей — за начало отсчета времени. Условимся считать направление на восток положительным. Тогда координаты автомобилей через 0,5 ч после встречи можно вычислить по формулам:

где — координата автомобиля, движущегося на восток, — координата встреченного автомобиля, — абсолютное значение скорости автомобиля, — абсолютное значение скорости автомобиля. Так как начальные координаты у обоих автомобилей равны нулю то

Подставив сюда приведенные в задаче значения, получим:

Расстояние между автомобилями равно разности их координат:

Упражнение 5

1. Следует ли считать величину I, вычисленную в задаче, векторной?

2. В чем различие между перемещением и пройденным путем при прямолинейном движении?

3. Объясните, в чем различие между величинами, определяемыми выражениями что у них общего?

4. Какая имеется связь между скоростью тела и изменением его положения в пространстве?

5. Группа туристов, двигаясь с постоянной по абсолютной величине скоростью 5 км/ч, сначала в течение 1 ч идет на север, затем в течение 0,5 ч идет на восток (под углом 90° к направлению на север) и, наконец, в течение

1 ч 30 мин на юг (под углом 180°). Где окажется группа после прохождения этих трех участков? Сколько времени ей потребуется на возвращение в исходную точку по прямой?

6. Автомобилист, двигаясь со скоростью 30 км/ч, проехал половину пути до места назначения за 2 ч. С какой скоростью он должен продолжать движение, чтобы За такое же время достигнуть цели и вернуться обратно?