§ 60. ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ НЕСКОЛЬКИХ СИЛ

В предыдущих параграфах этой главы мы выяснили, как движутся тела, если на них действует одна сила — сила упругости, сила тяготения или сила трения. Но в действительности с такими движениями в земных условиях почти никогда не приходится иметь дело. Наряду с силами упругости и тяготения на тело всегда действует и сила трения. Как в таких случаях решать механические задачи?

Напомним прежде всего, что в уравнении, выражающем второй закон Ньютона,

— это равнодействующая всех сил, приложенных к телу, т. е. геометрическая сумма векторов этих сил. Поэтому, приступая к решению какой-нибудь задачи, нужно сначала выяснить, какие силы действуют на тело, каковы их абсолютные значения и направления. Затем, изобразив на чертеже действующие на тело силы, найти их равнодействующую и, пользуясь законами движения Ньютона, решить задачу.

Но можно и не производить геометрического сложения векторов сил. В § 5 мы узнали, что проекция суммы нескольких векторов на какую-нибудь ось равна сумме проекций этих векторов на ту же ось. Это позволяет нам заменить геометрическое сложение векторов алгебраическим сложением их проекций.

В качестве примера рассмотрим движение тела по наклонной плоскости. Предположим, что по наклонной плоскости с углом наклона а движется брусок массой (рис. 141). Найдем его ускорение.

На движущийся брусок действуют три силы: сила тяжести сила реакции опоры (наклонной плоскости) перпендикулярная плоскости; сила трения направленная против движения.

Ускорение бруска а по условию направлено параллельно наклонной плоскости.

По второму закону Ньютона

Рис. 141

Направим оси координат X и вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней, как показано на рисунке 141. Из равенства (3) следует, что проекция вектора та на ось X или равна сумме проекций на эти оси векторов

Найдем вначале проекции всех векторов на ось X. Ускорение бруска направлено вдоль оси X, поэтому проекция вектора а равна его модулю Проекция вектора равна нулю. Вектор параллелен оси X, но его направление противоположно направлению оси. Поэтому проекция вектора на ось X равна его модулю но взятому со знаком

Проекцию вектора можно найти, воспользовавшись подобием треугольников (оба они прямоугольные, и углы равны, как углы, образованные взаимно перпендикулярными сторонами). Из подобия этих треугольников следует, что

Но Поэтому

Теперь, зная проекции всех векторов на ось X, мы можем записать:

Аналогичное уравнение можно записать и для проекций всех векторов на ось Проекции векторов а и равны нулю, проекция вектора по модулю равна а проекцию вектора можно найти из подобия тех же треугольников ABD и ЕОС:

Но (проекция силы на ось отрицательна),

Следовательно,

Отсюда

Так как проекция ускорения а бруска на ось равна нулю, то равна нулю и сумма проекций на эту ось всех сил, действующих на брусок. Поэтому

Рассмотрим вначале случай, когда тело движется без трения (коэффициент трения ). В этом случае из уравнения (2) найдем, что

Отношение всегда меньше единицы (катет меньше гипотенузы). Значит, по наклонной плоскости тело движется с ускорением меньшим, чем ускорение свободного падения. Чем более полога плоскость, тем меньше отношение и тем меньше ускорение а.

Но часто силой трения пренебречь нельзя. Найдем поэтому выражение и для величины

В § 49 было показано, что сила трения пропорциональна модулю силы давления

Поэтому можно написать, что

В нашем случае сила давления равна, но противоположна по направлению силе реакции опоры Следовательно, модуль силы равен просто модулю силы Из формулы (3) следует, что

Отсюда для силы трения получаем:

Подставив значенне в уравнение (2), мы получим интересующее нас ускорение

или (после сокращения на )

Из треугольника видно, что

Поэтому формулу (4) можно переписать в виде

Из этой формулы следует, что когда коэффициент трения равен нулю (т. е. силой трения можно пренебречь),

Упражнение 37

1. Найдите построением геометрическую сумму сил, приложенных к бруску на наклонной плоскости (по рис. 141). Как направлена равнодействующая этих сил относительно наклонной плоскости?

2. С вершины наклонной плоскости высотой 20 см и длиной 1 м соскальзывает брусок. Определите скорость бруска в конце наклонной плоскости. Трение не учитывать.

3. Санки скатываются с горки длиной 10 м за 2 сек. Найдите угол наклона горки. Трение не учитывать.

4. Почему в формулы для ускорения тела на наклонной плоскости не входит масса тела?

5. На наклонной плоскости высотой 5 м и длиной 10 м находится тело массой 50 кг, на которое действует сила направленная горизонтально и равная 300 н (рис. 142). Определите ускорение тела. (Трением пренебречь.)

6. Вычислите ускорение тела, скользящего по наклонной плоскости, если высота и длина ее основания одинаковы, а коэффициент трения тела о наклонную плоскость равен 0,2.

7. Приведите примеры использования наклонной плоскости. В чем ее полезность в этих примерах?

8. Как будет двигаться тело по наклонной плоскости, если проекция силы тяжести на прямую, параллельную наклонной плоскости, численно равна силе трения?

Рис. 142