§ 87. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ

Рассмотрим энергию, которой обладают тела, взаимодействующие только друг с другом. Напомним, что такие тела образуют замкнутую систему тел (см. гл. 8).

В § 84 и 85 было установлено, что, когда тела взаимодействуют силой упругости или силой тяжести, совершенная этими силами работа равна взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии системы.

Но силы взаимодействия могут вызвать изменение и скоростей тел, а следовательно, и изменение их кинетической энергии. Согласно теореме о кинетической энергии работа силы, действующей на тело, равна изменению его кинетической энергии. Следовательно, работа сил взаимодействия между телами равна по величине и совпадает по знаку с изменением кинетической энергии взаимодействующих тел.

Итак, мы видим, что одна и та же работа сил взаимодействия равна изменению потенциальной энергии, взятому со знаком «-», и изменению кинетической энергии, взятому со знаком «+». Это означает, что изменение кинетической энергии равно взятому с противоположным знаком изменению потенциальной энергии.

Если потенциальная энергия увеличивается, то кинетическая на столько же уменьшается и наоборот, когда потенциальная энергия уменьшается, растет кинетическая.

Сумму потенциальной и кинетической энергии тел называют полной механической энергией. Из приведенных нами рассуждений следует закон сохранения механической энергии замкнутой системы тел.

Полная механическая энергия замкнутой системы тел остается неизменной при любых движениях тел этой системы, если между телами действуют силы тяготения или силы упругости.

Превращение потенциальной энергии в кинетическую или кинетической в потенциальную — одно из самых замечательных явлений в природе. Это главное отличительное свойство энергии. В дальнейшем мы ознакомимся со многими другими примерами превращений одного вида энергии в другой.

Закон сохранения энергии позволяет лучше понять физический смысл работы. Из того факта, что одна и та же работа приводит к увеличению кинетической энергии и такому же уменьшению потенциальной энергии, следует, что работа равна энергии, испытавшей превращение из одного вида в другой.

В девятой главе мы ознакомились с законом сохранения импульса замкнутой системы тел. Теперь мы получили второй закон сохранения — закон сохранения энергии. Эти два закона носят самый общий характер и являются абсолютно точными даже тогда, когда законы механики Ньютона перестают быть справедливыми.

Если система тел не является замкнутой, например на одно из тел этой системы действует внешнее тело, не относящееся к системе, то полная механическая энергия системы уже не остается постоянной. Когда подъемный кран поднимает груз, на груз действует не только сила тяжести (сила его взаимодействия с Землей), но и сала натяжения троса. Поэтому система груз — Земля не является замкнутой. Если сила натяжения троса равна а кран поднял груз на высоту то работа, совершенная обеими этими силами, равна:

Эта работа согласно теореме о кинетической энергии равна изменению кинетической энергии груза:

где — скорость груза в начале, в конце подъема. Следовательно,

Отсюда

Здесь — изменение потенциальной энергии груза, а изменение его кинетической энергии.

Таким образом, полная механическая энергия этой системы изменяется на величину работы, совершенной силой натяжения троса.

Если на тело или тела, образующие систему, действуют внешние по отношению к той системе силы, полная энергия системы изменяется на величину работы, совершенной этими силами.

Если скорость подъема груза, как это часто бывает, остается постоянной, то

т. е. работа, совершенная силой натяжения троса, равна изменению потенциальной энергии системы.

Задача. Искусственный спутник Земли движется по эллиптической орбите. Найдите скорость движения спутника в апогее, если его скорость в перигее Перигей орбиты находится на расстоянии км, а апогей — на расстоянии км от поверхности Земли.

Решение. На спутник действует только сила тяжести — сила взаимодействия с Землей. Поэтому система тел спутник — Земля — замкнутая система. Для нее справедлив закон сохранения энергии. Пренебрегая изменением кинетической энергии Земли, можно написать:

( — масса спутника).

Отсюда

и

Подставляя числовые значения, получим:

При решении задачи мы пренебрегли изменением значения с высотой над поверхностью Земли.

Упражнение 58

1. Как изменяется с высотой потенциальная и кинетическая энергия свободно падающего тела?

2. Как изменяется с высотой потенциальная и кинетическая энергия тела, брошенного вверх?

3. Тело подвешено к пружине. Оно начинает падать, и при этом грузина растягивается. Объясните, какие виды энергии здесь изменяются и как.

4. Тело упало с некоторой высоты над Землей. 3 момент падения на поверхность Земли его скорость была равна 30 м сек. Пользуясь законом сохранения энергии, определите, с какой высоты упало тело.

5. Растянутая пружина, сокращаясь, увлекает за собой прикрепленное к ней тело массой 50 г по горизонтальной поверхности без трения, В тот момент, когда деформация пружины равна нулю, скорость тела равна 5 м/сек. . На сколько была растянута пружина, если ее жесткость равна 10 000 н/м?

6. Тело массой 2 кг падает с высоты 30 м над Землей. Пользуясь законом сохранения энергии, вычислите кинетическую энергию тела в момент, когда оно находится на высоте 15 м. Чему будет равна его кинетическая энергия в момент падения на Землю?

7. Тело массой 250 г брошено вертикально вверх со скоростью 15 м/сек. Найдите потенциальную энергию тела в высшей точке его траектории и наибольшую высоту подъема.

8. Тело массой 400 г прикреплено к сжатой пружине жесткостью 100 н/м. После освобождения пружины тело совершает такие колебания, что наибольшая деформация равна 10 см. Какова наибольшая скорость колеблющегося тела? Какова при этой скорости деформация пружины?