§ 16. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ И КРАТНЫЕ РЯДЫ ФУРЬЕ

173. Формула Фурье.

Изложение теории рядов Фурье мы закончим исследованием предельного случая, когда промежуток в котором изучается ряд Фурье, стремится к

Пусть функция удовлетворяет условиям Дирихле и непрерывна во всяком конечном промежутке и сверх того абсолютно интегрируема в промежутке , т. е. существует интеграл

По теореме Дирихле внутри мы имеем

Помня, что

мы получим отсюда

Что произойдет с этой формулой, когда Первое слагаемое очевидно стремится к нулю, ибо

Вводя новую переменную а, которая принимает равноотстоящие значения в промежутке :

получая каждый раз приращения мы оставшуюся сумму можем написать в виде

При больших интеграл, стоящий под знаком суммы, мало отличается от

и можно думать, что вся сумма при будет стремиться к пре делу

и таким образом мы имеем

В точках разрыва непрерывности, если таковые имеются, надо только заменить на

Формула эта, которая получается из ряда Фурье при называется формулой Фурье. Мы приходим таким образом к предложению: если функция удовлетворяет условиям Дирихле во всяком конечном промежутке и абсолютно интегрируема в промежутке , то при всех имеет место равенство

Теорема эта называется обычно теоремой Фурьеу а интеграл, стоящий в левой части этой формулы, интегралом Фурье функции Предыдущее рассуждение не является строгим, его можно сделать таковым при помощи некоторых дополнительных рассуждений. Мы не будем этого делать, а приведем другое, строгое доказательство формулы Фурье, основанное на результатах из [166].

Формула (2) будет доказана, если мы покажем, что

Обозначая интеграл, стоящий в левой части, через , мы можем написать:

т. е. можем переставить порядок интегрирования по t и по X.

Это вытекает из того, что в силу абсолютной интегрируемости функции интеграл:

сходится равномерно при всех значениях а. Действительно, интегралы

по абсолютному значению не превосходят

и, стало быть, при данном существует такое не зависящее от а, что при всех N и интегралы (S) будут меньше в по абсолютной величине, ибо этим свойством, в силу абсолютной интегрируемости обладает интеграл (6).

Но тогда интеграл (4) можно интегрировать по параметру а под знаком интеграла, что и дает нам

Внутренний интеграл по а правой части формулы (3) можем вычислить непосредственно и получим

и нам остается найти

Разбив промежуток интегрирования на два промежутка и введя вместо переменную в первом и во втором

промежутке, мы перепишем (7) в виде

Оба эти интеграла имеют вид интегралов Дирихле, но только с бесконечными пределами. Тем не менее нетрудно показать, что они обладают свойствами обычных интегралов Дирихле, т. е. при должно получиться

после чего окажется действительно

что и докажет теорему Фурье.

Остается доказать формулы (8). Ограничимся доказательством первой из этих формул. Пусть — любое заданное малое положительное число.

При множитель абсолютной величине меньше единицы при любом вещественном X, а функция по условию абсолютно интегрируема в промежутке и, следовательно, существует такое число что при всяком

Рассматривая интеграл Дирихле в конечном промежутке

можем утверждать, что он стремится к при , т. е. при всех достаточно больших

Имеем очевидно

откуда, в силу последних неравенств, при всех достаточно больших X будем иметь

Ввиду произвольной малости это и дает первую из формул (8). Вторая доказывается буквально так же.

Формула (2) может быть преобразована, если функция четная или нечетная. В самом деле, раскрывая имеем

причем оба интеграла по t имеют, очевидно, смысл ввиду абсолютной интегрируемости в промежутке

Если функция четная, то функция — четная, а функция нечетная, и, следовательно,

так что

Если же функция нечетная, то таким же образом получим

Если функция определена только в промежутке , ее можно продолжить в соседний промежуток четным или нечетным образом и тогда мы для одной и той же функции

считая ее для простоты непрерывной, получим две формулы

Нужно только помнить, что для первой из них функция продолжаясь четно, дает непрерывную функцию от так что первая формула верна и при во второй же формуле, если мы получим разрыв, и правая часть при равняется не , а нулю.

В формуле (9) первое интегрирование совершается по t, и, введя две функции

мы можем переписать формулу (9) в виде

считая для простоты непрерывной. В этой формуле мы имеем разложение в бесконечном промежутке на гармонические колебания, причем частоты а этих колебаний непрерывно меняются от 0 до а функции дают закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от частоты а.

Для конечного промежутка мы имели частоты образующие арифметическую прогрессию.

Если в формуле (10) положить

то ее можно переписать в виде

В этих двух формулах совершенно одинаково выражаются одна через другую.

Если считать в формуле заданной и искомой, то формула (122) представляет собою так называемое интегральное уравнение для поскольку эта функция входит под знак интеграла (интегральное уравнение Фурье). Формула дает решение

этого интегрального уравнения. Совершенно так же формулу (11) мы можем представить в виде следующих формул:

Примеры. 1. В формуле (10) положим

Мы получим тогда для интеграла, стоящего в правой части равенства (10):

и следовательно,

2. Полагая в формуле (И)

мы в правой части имеем интеграл

и получаем таким образом

3. Точно так же, полагая в формуле (10)

найдем

Часто формулу Фурье пишут в комплексной форме

Нетрудно получить эту формулу из формулы (2). Заменяя под интегралом

получим два интеграла

Во втором из них переменная а входит под знак синуса, так что подынтегральная функция есть нечетная функция от а и, следовательно, интегрируя по а в промежутке мы получим 0. Наоборот, в первом интеграле стоит четная функция от а, и интегрирование по а в промежутке можно заменить интегрированием в промежутке , приписав к интегралу множитель 2. Отсюда видно, что формула (14) равносильна формуле (2).

Считая f(x) непрерывной, перепишем (14) в виде

откуда видно, что, как и для формул (10) и (11), мы можем переписать ее в виде следующих двух формул

Сделаем одно замечание по поводу интеграла Фурье в комплексной форме. Мы не можем утверждать, что интеграл

с бесконечными пределами по отношению к переменной а имеет обычный смысл [85]. Мы можем лишь утверждать, что при любом конечном положительном значении М

и, следовательно, строго говоря, формулу Фурье в комплексной форме мы должны записывать в виде

В данном случае нижний предел стремится а верхний — к имея одинаковые абсолютные значения. Для существования несобственного интеграла в обычном смысле необходимо, чтобы предел существовал при любом законе стремления нижнего предела к и верхнего к