Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

§ 1. Понятие множества

Определить какое-либо понятие — это значит описать его с помощью более простых понятий. Но если мы какое-либо понятие А определяем с помощью более простого понятия В, а понятие В в свою очередь определяем с помощью еще более простого понятия С и т. д., то в конце кондов придем к такому понятию, которое уже нельзя определить с помощью более простых. Одним из таких неопределяемых математических понятий является понятие множества. Понятие множества — одно из основных в математике. С ним приходится встречаться во всех ееразделах. Так, уже в арифметике мы встречаемся с множеством натуральных чисел, множеством простых чисел. В геометрии приходится говорить о множестве вершин данного многоугольника, множестве точек пересечения заданных кривых; в алгебре — о множестве многочленов, множестве корней данного уравнения и т. п.

Иногда вместо термина множество употребляют такие равнозначащие термины, как совокупность, класс, объединение и др. (совокупность точек окружности, класс целых чисел, объединение многочленов данной степени). Объекты, составляющие данное множество, называются элементами этого множества. Так, каждое натуральное число есть элемент множества всех натуральных чисел, каждый многочлен есть элемент множества всех многочленов и т. п. Если а есть элемент множества то символически это записывают так: Для того чтобы указать, что множество состоит из элементов пишут:

Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным. Такими, например, являются

множество вершин данного многоугольника, множество его диагоналей, сторон, множество сочетаний из 10 элементов по 7. Множество, имеющее неограниченное количество элементов, называется бесконечным. Бесконечными, например, являются множества всех натуральных чисел, всех простых чисел, всех четных чисел и т. п.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым.

Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то множество А называют подмножеством множества В и символически записывают это так:

(словами: «А содержится в В»). Если, например, А — множество всех простых чисел, множество всех натуральных чисел, то подмножество множества В. К подмножествам множества В относят и самое множество В. Пустое множество, по определению, считают подмножеством всякого множества.

Всякое непустое подмножество А множества В, отличное от В, называют собственным подмножеством множества В. В этом случае пишут:

Подмножество В и пустое подмножество множества В называют несобственными подмножествами множества В.

Множество называется упорядоченным, если между его элементами установлено некоторое отношение (читают: «а предшествует имеющее следующие свойства.

1) для всяких двух элементов а и имеет место одно и только одно из соотношений:

2) для всяких трех элементов и с из соотношений вытекает соотношение

Пустое множество считается упорядоченным.

Примечание. Под равенством элементов мы всегда понимаем их тождественность, совпадение. Запись означает, что буквами а и обозначен один и тот же элемент множества

Отношение между элементами, имеющее свойства 1 и 2, называют отношением порядка.

Если а предшествует то говорят также, что следует за а, и записывают

Из определения упорядоченного множества вытекает, что соотношение имеет следующие свойства:

1) для всяких двух элементов а и имеет место одно и только одно из соотношений:

2) для всяких трех элементов а, b и с из соотношений и с вытекает соотношение .

В определении упорядоченного множества в качестве основного соотношения можно принять соотношение и затем посредством его определить соотношение , условившись считать тогда, когда

Элемент а упорядоченного множества называют предшествующим элементу а элемент последующим, если а элемент, для которого не существует предшествующего элемента, называют первым элементом, а элемент, для которого нет последующего, — последним. Элементы а и называются соседними, если не существует такого элемента с, что , или

Примеры.

1. Множество натуральных чисел будет упорядоченным, если считать, что меньшее число предшествует большему. Тогда множество записывают так:

В этом упорядоченном множестве есть первый элемент и нет последнего.

2. Множество натуральных чисел можно упорядочить и иным образом. Будем считать натуральное число предшествующим натуральному числу если больше Получим упорядоченное множество

В нем есть последний элемент и нет первого.

3. Множество, состоящее из элементов можно упорядочить следующими различными способами:

Очевидно, что всякое множество, имеющее не менее двух элементов, можно упорядочить несколькими различными способами и, таким образом, образовать из него различные упорядоченные множества.

Если упорядоченное множество задается записью его элементов, то эту запись всегда делают так. чтобы предшествующий элемент а находился левее от последующего элемента (см. примеры 1 и 2).