Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава I. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ§ 1. Понятие множестваОпределить какое-либо понятие — это значит описать его с помощью более простых понятий. Но если мы какое-либо понятие А определяем с помощью более простого понятия В, а понятие В в свою очередь определяем с помощью еще более простого понятия С и т. д., то в конце кондов придем к такому понятию, которое уже нельзя определить с помощью более простых. Одним из таких неопределяемых математических понятий является понятие множества. Понятие множества — одно из основных в математике. С ним приходится встречаться во всех ееразделах. Так, уже в арифметике мы встречаемся с множеством натуральных чисел, множеством простых чисел. В геометрии приходится говорить о множестве вершин данного многоугольника, множестве точек пересечения заданных кривых; в алгебре — о множестве многочленов, множестве корней данного уравнения и т. п. Иногда вместо термина множество употребляют такие равнозначащие термины, как совокупность, класс, объединение и др. (совокупность точек окружности, класс целых чисел, объединение многочленов данной степени). Объекты, составляющие данное множество, называются элементами этого множества. Так, каждое натуральное число есть элемент множества всех натуральных чисел, каждый многочлен есть элемент множества всех многочленов и т. п. Если а есть элемент множества
Множество, состоящее из конечного числа элементов, называется конечным. Такими, например, являются множество вершин данного многоугольника, множество его диагоналей, сторон, множество сочетаний из 10 элементов по 7. Множество, имеющее неограниченное количество элементов, называется бесконечным. Бесконечными, например, являются множества всех натуральных чисел, всех простых чисел, всех четных чисел и т. п. Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым. Если каждый элемент множества А является также элементом множества В, то множество А называют подмножеством множества В и символически записывают это так:
(словами: «А содержится в В»). Если, например, А — множество всех простых чисел, Всякое непустое подмножество А множества В, отличное от В, называют собственным подмножеством множества В. В этом случае пишут:
Подмножество В и пустое подмножество множества В называют несобственными подмножествами множества В. Множество 1) для всяких двух элементов а и 2) для всяких трех элементов Пустое множество считается упорядоченным. Примечание. Под равенством элементов мы всегда понимаем их тождественность, совпадение. Запись Отношение между элементами, имеющее свойства 1 и 2, называют отношением порядка. Если а предшествует Из определения упорядоченного множества вытекает, что соотношение 1) для всяких двух элементов а и 2) для всяких трех элементов а, b и с из соотношений В определении упорядоченного множества в качестве основного соотношения можно принять соотношение Элемент а упорядоченного множества называют предшествующим элементу а элемент Примеры. 1. Множество натуральных чисел будет упорядоченным, если считать, что меньшее число предшествует большему. Тогда множество записывают так:
В этом упорядоченном множестве есть первый элемент и нет последнего. 2. Множество натуральных чисел можно упорядочить и иным образом. Будем считать натуральное число
В нем есть последний элемент и нет первого. 3. Множество, состоящее из элементов
Очевидно, что всякое множество, имеющее не менее двух элементов, можно упорядочить несколькими различными способами и, таким образом, образовать из него различные упорядоченные множества. Если упорядоченное множество задается записью его элементов, то эту запись всегда делают так. чтобы предшествующий элемент а находился левее от последующего элемента
|
1 |
Оглавление
|