§ 2. Понятия кольца и поля

В элементарной алгебре рассматривают различные конкретные множества, например: множество целых рациональных, действительных и комплексных чисел, множество многочленов, дробно-рациональных функций и т. п. Над элементами этих множеств приходится выполнять операции, которые принято называть алгебраическими. Напомним общее определение алгебраической операции.

Пусть некоторое множество. Говорят, что в множестве определена алгебраическая операция, если указан закон, в силу которого всяким двум (различным или одинаковым) элементам а и этого множества, взятым в определенном порядке, ставится в соответствие вполне определенный третий элемент с этого же множества.

В определении алгебраической операции, как видим, содержатся требования однозначности операции и ее выполнимости для всяких двух элементов множества. В этом определении содержится также указание на порядок, в котором берутся элементы множества при выполнении над ними операции. Это означает, что парам элементов и а могут быть поставлены в соответствие различные элементы множества т. е. алгебраическая операция, определенная в множестве может быть некоммутативной.

Алгебраическую операцию, определенную вмножестве можно назвать сложением, тогда с называют суммой элементов а и и символически записывают ее можно назвать умножением, тогда с называют произведением элементов а и и записывают: Возможно, что для этой операции будет введено новое название и новая символическая запись.

Операции вычитания и деления, которые выполняются во многих множествах, рассматриваемых в элементарной алгебре, также называют алгебраическими. Их не следует, однако, считать новыми независимыми действиями, так как они могут быть определены соответственно через операции сложения и умножения. Действительно, мы говорим, что в множестве (в котором определена операция сложения) выполняется операция вычитания, если для всякой пары элементов множества существует в этом множестве единственный элемент такой, что

Элемент называют разностью элементов а и и записывают: Аналогично мы говорим, что в множестве (в котором определена операция умножения) выполняется операция деления, если для всяких двух элементов а и множества существует в этом множестве единственный элемент такой, что Элемент называют частным элементов а и и обозначают или

Итак, операции вычитания и деления определяются соответственно посредством операций сложения и умножения. О выполнимости операции вычитания или операции деления в множестве может идти речь только тогда, когда в множестве определена соответственно операция сложения или умножения.

Операции вычитания и деления называют обратными операциями соответственно для операций сложения и умножения.

Возведение в целую степень и извлечение корня — алгебраические операции, которые также могут быть определены через введенные ранее. Действительно, возведение числа а в целую положительную степень сводится к умножению:

а возведение числа а в целую отрицательную степень сводится к делению 1 на

операция извлечения корня степени из чисел в свою очередь определяется как обратная операции возведения в степень.

Среди множеств, рассматриваемых в элементарной алгебре, есть такие, в которых операции сложения и умножения определены, но обратные им операции — вычитание и деление — не всегда выполняются. Таким, например, является множество натуральных чисел. Есть также множества, как, например, множество всех целых чисел (положительных и отрицательных), в которых определена операция сложения и выполняется обратная ей операция — операция вычитания, а также такие, как, например, множество отличных от нуля рациональных чисел, в которых определена

операция умножения и выполняется обратная ей операция — операция деления.

Непустое множество К называется кольцом, если в нем определены операции сложения и умножения, причем эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1) операция сложения коммутативна, т. е. для любых элементов а и из множества К

2) операция сложения ассоциативна, т. е. для любых элементов с из множества К

3) для операции сложения в множестве К выполняется обратная операция — вычитание;

4) операция умножения ассоциативна, т. е. для любых элементов и с множества К

5) операции сложения и умножения связаны дистрибутивным законом, т. е. для любых элементов и с множества К

Примечание. Если операция умножения также коммутативна, т. е. если для всяких элементов а и то кольцо называется коммутативным. В курсе элементарной алгебры рассматриваются лишь коммутативные кольца.

Примерами колец являются: множество целых чисел, множество четных чисел, множество рациональных чисел, множество многочленов и др.

В курсе высшей алгебры доказывается, что во всяком кольце существует единственный элемент 0 такой, что сумма всякого элемента а кольца и 0 равна а, т. е. а Элемент 0 называют нулем данного кольца.

Для всякого элемента а кольца существует в кольце элемент такой, что Элемент называют противоположным элементу а.

Коммутативное кольцо, содержащее по крайней мере один отличный от нуля элемент, в котором выполняется операция деления, кроме деления на нуль, называется полем.

Примерами полей являются: множество рациональных чисел, множество действительных чисел, множество комплексных чисел, множество дробно-рациональных функций и др.

В курсе высшей алгебры также доказывают, что во всяком поле существует единственный элемент 1 (единица поля) такой, что для всякого элемента а данного поля имеем

Для всякого элемента а данного поля существует в поле единственный обратный элемент удовлетворяющий условию

Во всяком поле произведение двух элементов равно нулю тогда и только тогда, когда по крайней мере один из сомножителей равен нулю.