Глава VI. МНОГОЧЛЕНЫ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Многочлен от нескольких переменных и его каноническая форма

Многочлены от одного и нескольких переменных детально изучаются в курсе высшей алгебры. В этой главе мы рассмотрим лишь некоторые вопросы теории многочленов с числовыми коэффициентами от нескольких переменных, которые в курсе высшей алгебры не освещаются, но с которыми, однако, должен быть знаком каждый учитель математики.

Пусть —произвольное числовое поле, некоторые независимые переменные, принимающие любые значения из поля

Всякое произведение вида

где А — некоторое число из поля некоторые целые неотрицательные числа, называется одночленом от переменных над полем Числовой множитель А называют коэффициентом одночлена.

Если коэффициент А одночлена равен нулю, то одночлен при любых численных значениях переменных равен нулю, т. е. тождественно равен нулю; его называют нуль-одночленом и обозначают символом 0. Если же коэффициент А отличен от нуля, то одночлен называют отличным от нуль-одночлена или кратко отличным от нуля.

Показатель степени с которым переменное входит в отличный от нуля одночлен назыьают степенью одночлена относительно переменного Сумму всех показателей степеней, с которыми переменные входят в этот одночлен, называют степенью одночлена относительно совокупности переменных

Так, например, есть одночлен четвертой степени относительно и десятой степени относительно совокупности переменных

Нуль-одночлену не приписывают никакой степени.

Два отличные от нуля одночлена от переменных

называются подобными, если каждое из переменных входит в оба одночлена в одной и той же степени, если Иначе говоря, отличные от нуля одночлены от одних и тех же переменных называются подобными, если они отличаются один от другого лишь своими коэффициентами.

Так, например, одночлены -подобные.

Сумма

нескольких подобных одночленов от переменных над числовым полем может быть заменена тождественным ей одночленом

в который каждое из переменных входит в той же степени, что и в слагаемые, и коэффициент которого равен сумме коэффициентов слагаемых.

Действительно, так как коэффициенты принадлежат числовому полю а операции сложения и умножения чисел ноля связаны дистрибутивным законом,

то

при любых значениях переменных принадлежащих полю Например:

Так как операция умножения в числовом поле коммутативна и ассоциативна, то произведение

нескольких одночленов от переменных над числовым полем тождественно одночлену

коэффициент которого равен произведению коэффициентов одночленов-сомножителей, а каждое из переменных входит в одночлен-произведение в степени, равной сумме показателей степеней этого переменного во всех одночленах-сомножителях. Следовательно, произведение нескольких одночленов вида (1) всегда можно заменить тождественным ему одночленом вида (2).

Так, например,

Выражение, которое получается из переменных посредством операций сложения и умножения, называется многочленом от переменных над полем

Так, например,

есть многочлен от переменных над полем действительных чисел.

Иногда один и тот же многочлен можно рассматривать над различными числовыми полями. Так, если коэффициентами многочлена являются рациональные числа, а переменные принимают лишь рациональные значения, то этот многочлен считается заданным над полем рациональных чисел. Но так как рациональные числа содержатся в поле действительных, а также и в поле комплексных чисел, то этот многочлен можно рассматривать над полем действительных или комплексных чисел, считая, что независимые переменные принимают любые действительные или комплексные значения. Так, например, многочлен можно рассматривать над полем рациональных, действительных или комплексных чисел. Так как в результате умножения и сложения чисел поля мы получаем числа этого же поля то значения многочлена при любых численных значениях независимых переменных принадлежат тому же числовому полю, над которым рассматривается многочлен.

В соответствии с определением тождественности двух аналитических выражений два многочлена от одних и тех же переменных называются тождественными (или тождественно равными), если при любых численных значениях этих переменных значения многочленов равны.

Замена многочлена тождественным ему многочленом называется тождественным преобразованием данного многочлена. Числа, входящие в многочлены от переменных заданные над числовым полем и значения переменных которые они принимают, принадлежат к числовому полю Поэтому тождественные преобразования многочленов, заданных над числовым полем выполняются на основании законов операций над числами поля и правил, вытекающих из этих законов, т. е. на основе коммутативного и ассоциативного законов

сложения и умножения и дистрибутивного закона умножения относительного сложения, а также правил действий над числами, вытекающих из этих законов.

По определению всякий многочлен от переменных над числовым полем образуется из чисел поля и независимых переменных посредством операций сложения и умножения. Раскрыв в многочлене скобки, если они имеются, и выполнив умножение одночленов, мы получим тождественную заданному многочлену сумму вида

где некоторые числа из поля а некоторые целые неотрицательные числа.

Следовательно, всякий многочлен от переменных над числовым полем Может быть записан в виде суммы одночленов от над полем Р:

Поэтому иногда дают следующее определение многочлена:

Многочленом от переменных над числовым полем называется функция которая может быть представлена в виде суммы нескольких одночленов от переменных над полем Р:

Если среди одночленов входящих в многочлен (1), есть подобные, то сгруппируем их, переставив в случае необходимости слагаемые, и заменим каждую группу подобных одночленов тождественным ей одночленом, т. е. приведем подобные члены.

После приведения подобных членов коэффициенты некоторых одночленов-слагаемых могут быть равными нулю, т. е. некоторые из слагаемых могут быть

нуль-одночленами. Такие слагаемые мы исключим. В результате всего этого многочлен запишется в виде суммы не подобных попарно одночленов, тождественно равной заданному многочлену. Если же после приведения подобных членов все слагаемые многочлена будут нуль-одночленами, то многочлен будет тождественно равным нулю. Такой многочлен называется нуль-многочленом и обозначается символом 0.

Запись многочлена в виде суммы не подобных попарно одночленов или в виде нуль-многочлена называется канонической формой или каноническим представлением многочлена. Например, запись является канонической формой многочлена

Из изложенного выше вытекает, что всякий многочлен от нескольких переменных может быть записан в канонической форме. Всякий одночлен от переменных является частным случаем многочлена, а именно многочленом, в канонической форме которого есть лишь одно слагаемое.

Всюду дальше мы будем рассматривать лишь многочлены, заданные в канонической форме.

Пусть

произвольный многочлен от переменных над числовым полем заданный в канонической форме. Одночлены-слагаемые этого многочлена называются его членами, а их коэффициенты коэффициентами многочлена

Наивысший показатель степени, с которым переменное входит в члены многочлена (2), называется степенью этого многочлена относительно переменного Эта степень может быть равна 0; это означает, что, хотя и считается многочленом от переменных в действительности же переменное в его запись не входит.

Наивысшая из степеней членов многочлена относительно совокупности переменных

называется степенью этого многочлена относительно совокупности переменных, входящих в него.

Так, например,

есть многочлен шестой степени относительно совокупности переменных

В частности, многочленами нулевой степени будут лишь отличные от нуля числа поля . С другой стороны, как и в случае одночленов от нескольких переменных, нуль-многочлен является единственным многочленом от переменных, степень которого не определена.

Понятно, что в общем случае многочлен может иметь несколько членов наивысшей степени, и поэтому нельзя говорить о старшем (по степени) члене многочлена от нескольких переменных, как это делается в случае многочленов от одной переменной. Очевидно, что членом многочлена степени от переменных заданного в канонической форме, может быть всякий одночлен вида где Возникает вопрос: каково же число всевозможных членов в каноническом представлении многочлена степени от переменных (в общем виде)?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, докажем сначала теорему о числе членов так называемого однородного многочлена.