§ 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методами

Как известно, многочлен можно характеризовать как степенью относительно совокупности переменных так и степенью относительно каждого из переменных Точно так же можно характеризовать и уравнение

Уравнение (1) называется алгебраическкм уравнением степени если его левая часть есть многочлен степени относительно совокупности неизвестных Оно называется уравнением степени относительно неизвестного если является многочленом от степени относительно

Так, например, есть уравнение седьмой степени относительно

совокупности всех неизвестных и третьей степени относительно неизвестного

Система уравнений

называется алгебраической, если все ее уравнения алгебраические.

Систему алгебраических уравнений чаще всего характеризуют наибольшей из степеней уравнений, входящих в нее; иногда же ее характеризуют суммой степеней всех уравнений относительно совокупности неизвестных или относительно какого-либо неизвестного.

В частности, система уравнений, состоящая из алгебраических уравнений первой степени, т. е. линейных уравнений, называется системой линейных уравнений. Система же алгебраических уравнений, в составе которой имеется по крайней мере одно уравнение степени не ниже второй, называется нелинейной системой алгебраических уравнений.

Так, например,

является нелинейной системой алгебраических уравнений.

Нелинейные системы алгебраических уравнений в общем виде изучаются в курсе высшей алгебры, в разделе, который называется теорией исключения. Там устанавливается общий метод последовательного исключения неизвестных из системы уравнений с помощью результантов, вследствие чего решение заданной нелинейной системы алгебраических уравнений сводится к решению алгебраического уравнения с одним неизвестным. Однако применение этого метода на практике оказывается довольно громоздким и к тому же не всегда позволяет решить

алгебраически заданную систему уравнений, так как не всякое уравнение с одним неизвестным степени решается в радикалах.

Мы познакомимся с одним элементарным методом решения нелинейных систем алгебраических уравнений, довольно часто приводящим к цели.

Рассмотрим сначала систему уравнений с неизвестными специального вида, а именно систему

в которой все уравнения, кроме первого, являются уравнениями нулевой степени относительно неизвестного т. е. не входит в них. Докажем, что решение системы (3) сводится к решению системы уравнений с неизвестными

и нескольких уравнений с одним неизвестным вида

где некоторые постоянные числа.

Предположим, что есть решение системы уравнений (4). Подставим эти значения неизвестных в первое уравнение системы (3). Получится уравнение с одним неизвестным

Если есть многочлен степени относительно то уравнение (6) имеет в поле комплексных чисел решений: Каждое из этих решений вместе с числами образует решение системы уравнений (3). Следовательно, в этом случае решение системы (4) дополняется до решения

системы (3) последовательным присоединением к нему решений уравнения (6).

Если многочлен от тождественно равен нулю, то неизвестному можно придать произвольное значение будет решением системы (3). Если же есть отличное от нуля постоянное число, то уравнение (6) решений не имеет и, следовательно, решение системы (4) не может быть дополнено до решения системы (3).

Таким образом, если уравнение имеет решения, то, присоединяя каждое из них к решению системы (4), мы будем дополнять его до решения системы (3).

С другой стороны, всякое решение системы (3) порождает решение системы (4).

Действительно, если есть решение системы (3), то система значений неизвестных удовлетворяет всем ее уравнениям, в которые не входит т. е. всем уравнениям системы (4).

Из изложенного выше вытекает, что для нахождения всех решений системы (3) достаточно найти все решения системы (4) и те из них, для которых это возможно, дополнить описанным выше способом до решения системы (3). Если же система (4) окажется несовместной, то и система (3) несовместна. Таким образом, решение системы (3) действительно сводится к решению системы (4) и нескольких уравнений с одним неизвестным вида

Так как всякое уравнение системы можно записать первым, а всякое неизвестное можно обозначить то нами доказана справедливость следующего утверждения:

Если в системе алгебраических уравнений с неизвестными все ее уравнения, кроме одного, не зависят от неизвестного то решение этой системы сводится к решению системы алгебраических уравнений с неизвестными и нескольких алгебраических уравнений с одним неизвестным.

Предположим теперь, что задана система алгебраических уравнений

Будем характеризовать эту систему суммой степеней всех ее уравнений относительно неизвестного Если все уравнения системы, кроме одного, нулевой степени относительно то в силу изложенного выше решение системы (7) сводится к решению системы алгебраических уравнений с неизвестными и нескольких алгебраических уравнений с одним неизвестным.

Пусть в системе (7) имеется по крайней мере два уравнения, степени которых относительно больше нуля. Не теряя общности рассуждений, будем считать, что этими уравнениями являются первые два уравнения системы. Предположим, что степень первого из них относительно равна а второго причем Выделим в этих уравнениях члены с наибольшими степенями и запишем систему (7) так:

В этой записи многочлены от многочлены от причем степень относительно меньше, чем , а степень относительно меньше, чем

Рассмотрим теперь две новые системы:

и

Система (8) получается из системы (7) заменой первого ее уравнения двумя уравнениями:

Система (9) получается заменой в системе (7) второго уравнения уравнением

Всякое решение системы (8), очевидно, будет решением и системы (7), а всякое решение системы (7) такое, что является решением системы (8).

Всякое решение системы (7) является также решением системы (9). С другой стороны, всякое решение системы (9) такое, что будет решением и системы (7). Если же для решения системы (9) имеем

то оно будет решением системы (7) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет и системе (8).

Отсюда вытекает, что множество решений системы (7) совпадает с множеством решений системы (9), каждое из которых или не обращает в нуль многочлен или удовлетворяет всем уравнениям системы (8). Следовательно, для того чтобы найти все решения системы (7), достаточно найти все решения системы (9) и отобрать из них те, которые или не обращают в нуль многочлен или удовлетворяют всем уравнениям системы (8). Если система (9) несовместна, то и система (7) несовместна. Если же система (9) неопределенная, то ее решения будут задаваться в общем виде. Для отбора среди них решений заданной системы возможно придется решать системы уравнений, получающиеся из системы (8) в результате подстановки в нее решений системы (9),

заданных в общем виде. Для решения этих систем в случае необходимости можно снова применить преобразования, которые мы применяли к упомянутой системе.

Таким образом, решение заданной системы сводится к решению системы (9) и, возможно, еще некоторых систем, получающихся из системы (8), но безусловно более простых. Система (9), вследствие теоремы 2 § 2 этой главы, равносильна системе

т. е. системе

степень которой относительно меньше, чем степень системы (9), а следовательно, и системы (7).

Таким образом, решение заданной системы уравнений (7) свелось к решению новой системы (10), степень которой относительно меньше, чем степень первоначальной системы. К системе (10) можно применить то же преобразование. Так будем продолжать до тех пор, пока, наконец, не получится система, в которой лишь одно уравнение может иметь отличную от нуля степень относительно Решение такой системы, как мы доказали выше, сводится к решению системы с меньшим количеством уравнений и неизвестных и нескольких уравнений с одним неизвестным.

Для системы с меньшим числом уравнений и неизвестных опять выполняем те же преобразования. Так продолжаем до тех пор, пока не придем к системе двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых является

алгебраическим уравнением с одним неизвестным. Решив это уравнение, мы найдем значения одного неизвестного. Подставив эти значения во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения второго неизвестного и т. д. Для определения значений каждого последующего неизвестного придется решать алгебраическое уравнение с одним неизвестным.

Итак, мы доказали, что решение любой нелинейной системы алгебраических уравнений средствами элементарной алгебры можно свести к решению нескольких алгебраических уравнений с одним неизвестным.

Пример. Решить систему уравнений

Для решения этой системы применяем метод, рассмотренный выше. Будем понижать степень системы относительно Для этого сначала из первого уравнения вычтем второе и обе части полученного уравнения разделим на 3. Получим систему

равносильную заданной системе. В соответствии с изложенным выше составим две новые системы:

и

Перемножив во втором уравнении системы (12) множители и приведя подобные члены, запишем систему (12) так:

К системе (12) применим опять то же преобразование, т. е. составим две новые системы:

и

Второе уравнение системы (14) — уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим последовательно

так что второе уравнение системы (14) имеет решения:

При левая часть первого уравнения системы (14) тождественно равна нулю и поэтому неизвестному можно придать произвольное значение При подстановке же в первое уравнение системы (14) значения имеем

откуда

Таким образом, система (14) имеет решения где произвольное число. Так как решение не обращает в нуль многочлен то оно является решением системы (12) и заданной системы уравнений. Решение обращает в нуль многочлен также удовлетворяет всем уравнениям системы (13) и поэтому тоже является решением системы (12).

Так как решение системы (12) обращает в нуль многочлен то оно будет решением заданной системы уравнений тогда и только тогда, когда будет удовлетворять всем уравнениям системы (11). Подставив значения в уравнения системы (11), получим

Отсюда Таким образом находим еще два решения заданной системы уравнений: (2, 1), (1, 1). Следовательно, заданная система уравнений имеет три решения:

Рассмотренный нами метод решения нелинейных систем алгебраических уравнений хотя и элементарный, но так же, как и метод исключения неизвестных с помощью результантов, довольно громоздкий. Кроме того, решение заданной системы уравнений этим методом часто приводит

к алгебраическим уравнениям с одним неизвестным, которые не решаются в радикалах.

Во многих случаях заданную нелинейную систему алгебраических уравнений удается решить, комбинируя известные элементарные методы решения уравнений и систем уравнений — метод алгебраического сложения, подстановки, введения новых неизвестных (замену неизвестных) — и применяя различные частные приемы. Но для этого каждый раз приходится использовать специфические особенности заданной системы уравнений. Рассмотрим некоторые такие примеры.