Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методамиКак известно, многочлен
Уравнение (1) называется алгебраическкм уравнением степени Так, например, совокупности всех неизвестных и третьей степени относительно неизвестного
называется алгебраической, если все ее уравнения алгебраические. Систему алгебраических уравнений чаще всего характеризуют наибольшей из степеней уравнений, входящих в нее; иногда же ее характеризуют суммой степеней всех уравнений относительно совокупности неизвестных В частности, система уравнений, состоящая из алгебраических уравнений первой степени, т. е. линейных уравнений, называется системой линейных уравнений. Система же алгебраических уравнений, в составе которой имеется по крайней мере одно уравнение степени не ниже второй, называется нелинейной системой алгебраических уравнений. Так, например,
является нелинейной системой алгебраических уравнений. Нелинейные системы алгебраических уравнений в общем виде изучаются в курсе высшей алгебры, в разделе, который называется теорией исключения. Там устанавливается общий метод последовательного исключения неизвестных из системы уравнений с помощью результантов, вследствие чего решение заданной нелинейной системы алгебраических уравнений сводится к решению алгебраического уравнения с одним неизвестным. Однако применение этого метода на практике оказывается довольно громоздким и к тому же не всегда позволяет решить алгебраически заданную систему уравнений, так как не всякое уравнение с одним неизвестным степени Мы познакомимся с одним элементарным методом решения нелинейных систем алгебраических уравнений, довольно часто приводящим к цели. Рассмотрим сначала систему
в которой все уравнения, кроме первого, являются уравнениями нулевой степени относительно неизвестного
и нескольких уравнений с одним неизвестным вида
где Предположим, что
Если системы (3) последовательным присоединением к нему решений уравнения (6). Если многочлен Таким образом, если уравнение С другой стороны, всякое решение Действительно, если Из изложенного выше вытекает, что для нахождения всех решений системы (3) достаточно найти все решения системы (4) и те из них, для которых это возможно, дополнить описанным выше способом до решения системы (3). Если же система (4) окажется несовместной, то и система (3) несовместна. Таким образом, решение системы (3) действительно сводится к решению системы (4) и нескольких уравнений с одним неизвестным вида
Так как всякое уравнение системы можно записать первым, а всякое неизвестное можно обозначить Если в системе Предположим теперь, что задана система алгебраических уравнений
Будем характеризовать эту систему суммой степеней всех ее уравнений относительно неизвестного Пусть в системе (7) имеется по крайней мере два уравнения, степени которых относительно
В этой записи Рассмотрим теперь две новые системы:
и
Система (8) получается из системы (7) заменой первого ее уравнения двумя уравнениями:
Система (9) получается заменой в системе (7) второго уравнения уравнением
Всякое решение системы (8), очевидно, будет решением и системы (7), а всякое решение Всякое решение системы (7) является также решением системы (9). С другой стороны, всякое решение
то оно будет решением системы (7) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет и системе (8). Отсюда вытекает, что множество решений системы (7) совпадает с множеством решений системы (9), каждое из которых или не обращает в нуль многочлен заданных в общем виде. Для решения этих систем в случае необходимости можно снова применить преобразования, которые мы применяли к упомянутой системе. Таким образом, решение заданной системы сводится к решению системы (9) и, возможно, еще некоторых систем, получающихся из системы (8), но безусловно более простых. Система (9), вследствие теоремы 2 § 2 этой главы, равносильна системе
т. е. системе
степень которой относительно Таким образом, решение заданной системы уравнений (7) свелось к решению новой системы (10), степень которой относительно Для системы с меньшим числом уравнений и неизвестных опять выполняем те же преобразования. Так продолжаем до тех пор, пока не придем к системе двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых является алгебраическим уравнением с одним неизвестным. Решив это уравнение, мы найдем значения одного неизвестного. Подставив эти значения во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения второго неизвестного и т. д. Для определения значений каждого последующего неизвестного придется решать алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Итак, мы доказали, что решение любой нелинейной системы алгебраических уравнений средствами элементарной алгебры можно свести к решению нескольких алгебраических уравнений с одним неизвестным. Пример. Решить систему уравнений
Для решения этой системы применяем метод, рассмотренный выше. Будем понижать степень системы относительно
равносильную заданной системе. В соответствии с изложенным выше составим две новые системы:
и
Перемножив во втором уравнении системы (12) множители и приведя подобные члены, запишем систему (12) так:
К системе (12) применим опять то же преобразование, т. е. составим две новые системы:
и
Второе уравнение системы (14) — уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим последовательно
так что второе уравнение системы (14) имеет решения:
При
откуда
Таким образом, система (14) имеет решения Так как решение
Отсюда
Рассмотренный нами метод решения нелинейных систем алгебраических уравнений хотя и элементарный, но так же, как и метод исключения неизвестных с помощью результантов, довольно громоздкий. Кроме того, решение заданной системы уравнений этим методом часто приводит к алгебраическим уравнениям с одним неизвестным, которые не решаются в радикалах. Во многих случаях заданную нелинейную систему алгебраических уравнений удается решить, комбинируя известные элементарные методы решения уравнений и систем уравнений — метод алгебраического сложения, подстановки, введения новых неизвестных (замену неизвестных) — и применяя различные частные приемы. Но для этого каждый раз приходится использовать специфические особенности заданной системы уравнений. Рассмотрим некоторые такие примеры.
|
1 |
Оглавление
|