Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 5. Решение нелинейных систем алгебраических уравнений элементарными методамиКак известно, многочлен
Уравнение (1) называется алгебраическкм уравнением степени Так, например, совокупности всех неизвестных и третьей степени относительно неизвестного Система уравнений
называется алгебраической, если все ее уравнения алгебраические. Систему алгебраических уравнений чаще всего характеризуют наибольшей из степеней уравнений, входящих в нее; иногда же ее характеризуют суммой степеней всех уравнений относительно совокупности неизвестных В частности, система уравнений, состоящая из алгебраических уравнений первой степени, т. е. линейных уравнений, называется системой линейных уравнений. Система же алгебраических уравнений, в составе которой имеется по крайней мере одно уравнение степени не ниже второй, называется нелинейной системой алгебраических уравнений. Так, например,
является нелинейной системой алгебраических уравнений. Нелинейные системы алгебраических уравнений в общем виде изучаются в курсе высшей алгебры, в разделе, который называется теорией исключения. Там устанавливается общий метод последовательного исключения неизвестных из системы уравнений с помощью результантов, вследствие чего решение заданной нелинейной системы алгебраических уравнений сводится к решению алгебраического уравнения с одним неизвестным. Однако применение этого метода на практике оказывается довольно громоздким и к тому же не всегда позволяет решить алгебраически заданную систему уравнений, так как не всякое уравнение с одним неизвестным степени Мы познакомимся с одним элементарным методом решения нелинейных систем алгебраических уравнений, довольно часто приводящим к цели. Рассмотрим сначала систему
в которой все уравнения, кроме первого, являются уравнениями нулевой степени относительно неизвестного
и нескольких уравнений с одним неизвестным вида
где Предположим, что
Если системы (3) последовательным присоединением к нему решений уравнения (6). Если многочлен Таким образом, если уравнение С другой стороны, всякое решение Действительно, если Из изложенного выше вытекает, что для нахождения всех решений системы (3) достаточно найти все решения системы (4) и те из них, для которых это возможно, дополнить описанным выше способом до решения системы (3). Если же система (4) окажется несовместной, то и система (3) несовместна. Таким образом, решение системы (3) действительно сводится к решению системы (4) и нескольких уравнений с одним неизвестным вида
Так как всякое уравнение системы можно записать первым, а всякое неизвестное можно обозначить Если в системе Предположим теперь, что задана система алгебраических уравнений
Будем характеризовать эту систему суммой степеней всех ее уравнений относительно неизвестного Пусть в системе (7) имеется по крайней мере два уравнения, степени которых относительно
В этой записи Рассмотрим теперь две новые системы:
и
Система (8) получается из системы (7) заменой первого ее уравнения двумя уравнениями:
Система (9) получается заменой в системе (7) второго уравнения уравнением
Всякое решение системы (8), очевидно, будет решением и системы (7), а всякое решение Всякое решение системы (7) является также решением системы (9). С другой стороны, всякое решение
то оно будет решением системы (7) тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет и системе (8). Отсюда вытекает, что множество решений системы (7) совпадает с множеством решений системы (9), каждое из которых или не обращает в нуль многочлен заданных в общем виде. Для решения этих систем в случае необходимости можно снова применить преобразования, которые мы применяли к упомянутой системе. Таким образом, решение заданной системы сводится к решению системы (9) и, возможно, еще некоторых систем, получающихся из системы (8), но безусловно более простых. Система (9), вследствие теоремы 2 § 2 этой главы, равносильна системе
т. е. системе
степень которой относительно Таким образом, решение заданной системы уравнений (7) свелось к решению новой системы (10), степень которой относительно Для системы с меньшим числом уравнений и неизвестных опять выполняем те же преобразования. Так продолжаем до тех пор, пока не придем к системе двух уравнений с двумя неизвестными, одно из которых является алгебраическим уравнением с одним неизвестным. Решив это уравнение, мы найдем значения одного неизвестного. Подставив эти значения во второе уравнение системы, найдем соответствующие значения второго неизвестного и т. д. Для определения значений каждого последующего неизвестного придется решать алгебраическое уравнение с одним неизвестным. Итак, мы доказали, что решение любой нелинейной системы алгебраических уравнений средствами элементарной алгебры можно свести к решению нескольких алгебраических уравнений с одним неизвестным. Пример. Решить систему уравнений
Для решения этой системы применяем метод, рассмотренный выше. Будем понижать степень системы относительно
равносильную заданной системе. В соответствии с изложенным выше составим две новые системы:
и
Перемножив во втором уравнении системы (12) множители и приведя подобные члены, запишем систему (12) так:
К системе (12) применим опять то же преобразование, т. е. составим две новые системы:
и
Второе уравнение системы (14) — уравнение с одним неизвестным. Решая его, находим последовательно
так что второе уравнение системы (14) имеет решения:
При
откуда
Таким образом, система (14) имеет решения Так как решение
Отсюда
Рассмотренный нами метод решения нелинейных систем алгебраических уравнений хотя и элементарный, но так же, как и метод исключения неизвестных с помощью результантов, довольно громоздкий. Кроме того, решение заданной системы уравнений этим методом часто приводит к алгебраическим уравнениям с одним неизвестным, которые не решаются в радикалах. Во многих случаях заданную нелинейную систему алгебраических уравнений удается решить, комбинируя известные элементарные методы решения уравнений и систем уравнений — метод алгебраического сложения, подстановки, введения новых неизвестных (замену неизвестных) — и применяя различные частные приемы. Но для этого каждый раз приходится использовать специфические особенности заданной системы уравнений. Рассмотрим некоторые такие примеры.
|
1 |
Оглавление
|