§ 4. Двучленные уравнения

Двучленным уравнением степени называется уравнение вида

где натуральное число и

Разделив обе части уравнения (1) на отличное от 0 число а и обозначив мы получим уравнение а

равносильное уравнению (1).

Рассмотрим теперь уравнение (2). Его решениями будут значения

Следовательно, решение уравнения сводится к извлечению корня степени из числа

Если то имеет различных комплексных значений и, следовательно, уравнение (2) имеет в поле комплексных чисел различных решений. Если же то уравнение (2) имеет -кратное решение Действительно, в этом случае уравнение (2) имеет вид Его можно записать так: Приравняв нулю каждый из сомножителей левой части уравнения, получим уравнений решение каждого из которых будет решением уравнения

Следовательно, решение повторяется раз и, значит, оно является -кратным решением уравнения (2).

Заметим, что когда известно одно из значений то решение уравнения (2) сводится к решению уравнения

Действительно, пусть одно из значений Заменив в уравнении (2) неизвестное новым неизвестным у, связанным с равенством

получим уравнение

Отсюда, разделив обе части уравнения получаем:

Решениями уравнения (3) являются значения корня степени из 1. Найдя эти значения и умножив каждое из них на получим все решений уравнения (2). В частности, если свободный член уравнения (2) является отличным от нуля действительным числом, а -арифметический корень степени из абсолютной величины свободного члена уравнения, то уравнение (2) можно записать так:

или

Положим и заменим в каждом из последних уравнений неизвестное новым неизвестным у, получим уравнения:

Отсюда, разделив обе части уравнений на будем иметь уравнения

Следовательно, чтобы решить уравнение в котором свободный член отличное от нуля действительное число, надо найти все решения уравнения если или уравнения если

и каждое из этих решений умножить на арифметическое значение корня степени из абсолютной величины свободного члена этого двучленного уравнения.

Перейдем теперь к решению уравнений

Элементарными способами эти уравнения решаются лишь при некоторых частных значениях показателя Мы рассмотрим случаи .

Имеем уравнения

Решениями первого из них являются а решениями второго

Имеем уравнения

Их можно записать в виде произведений

Таким образом, решение первого из заданных уравнений сводится к решению уравнений а второго — к решению уравнений Решив последние, находим для уравнения

а для уравнения

Имеем уравнения

Уравнение запишем так:

Следовательно, решение уравнения сводится к решению уравнений Решив их, находим решения уравнения

Для того чтобы решить уравнение дополним левую часть его до полного квадрата, прибавляя к ней и вычитая из нее Получим:

или

или, наконец,

Отсюда вытекает, что решение уравнения сводится к решению уравнений

Решив их, находим:

Имеем уравнения

Левую часть уравнения можно представить в виде

Отсюда видно, что решение уравнения сводится к решению уравнений

Решением уравнения (10) является Рассмотрим теперь уравнение Множеством допустимых значений неизвестного является поле комплексных чисел. Исключим из этого множества число нуль, т. е. будем считать допустимыми для у произвольные, отличные от нуля, комплексные значения. При этом не произойдет потери решений: легко проверить, что значение не является решением уравнения (11).

Выражение — имеет смысл и отлично от нуля при всех

допустимых значениях неизвестного у, и поэтому в силу второй теоремы о равносильности уравнений, умножив обе части уравнения (11) на мы получим равносильное ему уравнение

Уравнению (12) равносильно уравнение

которое мы запишем так:

Положив приведем это уравнение к виду

Решениями последнего уравнения являются

Подставив в равенство (13) вместо найденные значения получим уравнения

Так как у не может быть равным нулю, то уравнения (14) и (15) равносильны соответственно уравнениям

а следовательно, и уравнениям

Решив последние два уравнения, будем иметь:

Таким образом, решениями уравнения являются:

Уравнение легко сводится к уже рассмотренному уравнению Действительно, заменив в уравнении неизвестное у через получим или

Отсюда делаем вывод, что решениями уравнения являются решения уравнения взятые с противоположными знаками.

Заметим, что эти рассуждения справедливы для всех двучленных уравнений в которых показатель нечетное число.

Имеем уравнения

Уравнение можно записать так:

и, следовательно, решение его сводится к решению уравнений

Корни этих уравнений нам уже известны.

Уравнение можно записать в виде

и, значит, решение его сводится к решению уравнений

Для первого из них, как известно, Чтобы решить уравнение заменим в нем неизвестное у новым неизвестным связанным с у соотношением тогда получим уравнение

Его решениями являются:

Подставив в равенство вместо его значения получим:

Отсюда

или

Итак, уравнение имеет корни

Имеем уравнения

Первое из этих уравнений можно записать так:

и, следовательно, корнями его будут известные уже нам корни (и только они) уравнений

Уравнение можно записать в виде

поэтому нужно рассматривать уравнения

Положив в этих уравнениях получим

Первое из них имеет решения;

решениями второго являются:

Подставляя в равенство вместо его значения получаем уравнения

решив которые найдем корни уравнения

Подобным образом можно решить уравнения и при некоторых других значениях показателя

Пример. Решить уравнение Чтобы найти корни этого уравнения, достаточно арифметическое значение умножить на каждый из корней уравнения Следовательно, корнями уравнения являются: