§ 4. Полиномиальная теорема

Бином Ньютона

можно записать так:

Условимся считать, что и подставим в формулу (1) вместо его значение Тогда получим:

или

где суммирование распространяется на всевозможные системы целых неотрицательных значений удовлетворяющих условию Обобщением формулы (3), т. е. формулы Ньютона, является формула возведения в степень суммы к выводу которой мы переходим.

Теорема. Возведение в степень суммы дает:

т.е.

где суммирование распространяется на всевозможные системы целых неотрицательных значений удовлетворяющих условию

Доказательство. Степень суммы есть произведение сомножителей:

Чтобы найти это произведение, надо каждое слагаемое первого множителя умножить на каждое слагаемое второго множителя, каждое из полученных произведений умножить на каждое слагаемое третьего множителя и т. д., и затем все полученные таким образом произведения сложить. Если из первого множителя мы возьмем слагаемое из второго — из где каждый из индексов может быть равным любому из чисел то получим член произведения:

Очевидно, что каждому члену соответствует размещение с повторениями из элементов по элементов и, наоборот, каждому такому размещению соответствует один член Отсюда вытекает, что число всех членов равно числу различных размещений с повторениями из элементов по элементов, т. е. Но не все эти членов различные. Члены, в каждом из которых повторяется раз, раз, раз являются подобными. Каждый такой член, очевидно, соответствует перестановке с повторениями в которой

элементы повторяются соответственно раз, и, наоборот, каждая такая перестановка соответствует лишь одному из этих подобных членов. Следовательно, число всех этих подобных членов равно числу различных перестановок с повторениями порядка в которых повторяются соответственно раз, т.е. . Следовательно, всякий член где входит в разложение с коэффициентом . Отсюда вытекает, что

где суммирование распространяется на всевозможгые системы целых неотрицательных значений удовлетворяющих условию

Этим теорема доказана.

Коэффициенты с которыми члены входят в разложение называют полиномиальными коэффициентами.

Пример. Возвести в третью степень сумму