§ 6. Графическое решение нелинейных систем алгебраических уравнений с двумя неизвестными

В предыдущем параграфе мы ознакомились с некоторыми способами алгебраического решения нелинейных систем алгебраических уравнений. Но, как уже отмечалось выше, средствами элементарной алгебры может быть решена не каждая такая система, и даже в тех случаях, когда заданная система уравнений решается элементарными алгебраическими методами, такой путь нахождения решений не всегда оправдывает себя на практике. Это, в частности, может быть тогда, когда решения системы уравнений с числовыми коэффициентами записываются с помощью радикалов в виде довольно сложных выражений и для практического применения приходится находить приближенные значения этих выражений. Эти обстоятельства вынуждают искать другие способы решения нелинейных систем

алгебраических уравнений, которые позволяют непосредственно находить хотя бы приближенные решения системы. Одним из таких способов является графический способ решения систем уравнений.

Предположим, что задана нелинейная система двух алгебраических уравнений с действительными коэффициентами с двумя неизвестными х и у

Возьмем прямоугольную систему координат. Как известно, каждое из этих уравнений задает в выбранной системе координат некоторую кривую. Построим на одном и том же рисунке кривые, соответствующие уравнениям системы (1). Если пара действительных чисел является решением заданной системы, то значит, точка с координатами лолжна лежать на обеих кривых, должна быть точкой пересечения этих кривых. Наоборот, координаты любой точки пересечения построенных кривых удовлетворяют обоим уравнениям системы, т. е. образуют решение заданной системы. Следовательно, для того чтобы графически определить действительные решения системы (1), надо построить кривые, заданные уравнениями системы, и найти точки пересечения этих кривых. Координаты каждой точки пересечения образуют решение системы (1).

В общем хяучае построение кривой, заданной уравнением связано со значительными трудностями. Для определения значений у. соответствующих заданному значению приходится решать уравнение а это не всегда легко сделать. Построение кривой значительно упрощается в том случае, когда уравнение можно решить относительно одного из неизвестных или если оба неизвестных могут быть заданы как функции одной и той же вспомогательной переменной.

При графическом решении заданной системы уравнений сначала строят кривые в малом масштабе. Это позволяет грубо приближенно определить решение системы. Затем части кривых, прилегающие к точкам пересечения, строят в большом масштабе и определяют решения с большей степенью точности.

Графические методы решения систем уравнений позволяют найти, как правило, грубо приближенные решения.

Но если нужна большая точность, то найденные решения уточняют, применяя для этого различные численные методы решения систем уравнений.

Пример. Решить графически систему уравнений

Запишем эту систему так:

Первое уравнение является уравнением окружности с центром в точке (0. 0) и радиусом, равным 4. Второе уравнение — уравнение параболы.

(см. скан)

Построив окружность и параболу (рис. 6), видим, что они пересекаются в четырех точках, координаты которых приближенно равняются

Следовательно, заданная система уравнений имеет четыре решения.

Непосредственная проверка показывает, что второе решение точное, а три других приближенные. Для уточнения приближенных решений составляем в окрестностях точек пересечения кривых более подробную таблицу значений

и строим части кривых (рис. 7—9), прилегающие к точкам пересечения, в значительно увеличенном масштабе.

С помощью построенных рисунков определяем: