§ 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестными

Неравенство первой степени с двумя неизвестными в общем виде записывается так:

где V обозначает один из символов После перенесения всех членов этого неравенства в левую часть получаем неравенство вида

Рассмотрим неравенство

Решив это неравенство относительно получим при

а при

или, положив

при и

при

Выражение является уравнением прямой. Эта прямая делит координатную плоскость на две полуплоскости: полуплоскость (I), размещенную выше прямой, и полуплоскость размещенную ниже прямой (рис. 19).

Рис. 19.

Легко убедиться, что координаты любой точки полуплоскости (I) связаны соотношением а координаты любой точки полуплоскости (II) — соотношением Следовательно, неравенству (1) удовлетворяют координаты любой точки полуплоскости (I), а неравенству (2) — координаты любой точки полуплоскости (II). Наоборот, каждая точка, координаты которой

удовлетворяют неравенству (1), принадлежит полуплоскости (I). Если же координаты точки удовлетворяют неравенству (2), то она принадлежит полуплоскости (II).

Отсюда вытекает, что совокупность всех решений неравенства (1) изображается геометрически множеством точек полуплоскости (I), а неравенства (2) — множеством точек полуплоскости (II). В этом случае говорят, что неравенство (1) выполняется во всех точках полуплоскости (I), а неравенство (2) — во всех точках полуплоскости (II). Так как неравенство (1) выполняется во всех точках полуплоскости (I) и только в них, а неравенство (2) — во всех точках полуплоскости (II) и только в них, то говорят, что неравенство (1) определяет полуплоскость (I), а неравенство (2) — полуплоскость (II).

При рассмотрении неравенства рассуждения проводятся аналогично.

Решение неравенств сводится к решению неравенств и уравнения

Пример. Решить неравенство

Решение. Решив заданное неравенство относительно у, получим равносильное ему неравенство

Совокупность всех решений заданного неравенства геометрически изображается множеством точек полуплоскости, расположенной ниже прямой (рис. 20).

Рис. 20.

Система неравенств первой степени с двумя неизвестными после перенесения всех членов каждого неравенства в левую его часть записывается так:

Для определенности будем считать, что в каждом из неравенств знак V обозначает символ и рассмотрим систему неравенств

Совокупность решений каждого из неравенств этой системы изображается множеством точек некоторой полуплоскости. Следовательно, совокупность всех решений системы (3) изображается множеством точек общей части этих полуплоскостей. Общая часть этих полуплоскостей может быть многоугольником, бесконечной областью, ограниченной некоторой незамкнутой ломаной линией, полосой, содержащейся между двумя параллельными, или пустым множеством. Последний случай имеет место тогда, когда полуплоскости, точками которых изображаются решения неравенств системы (3), не имеют общей части. В этом случае система (3) не имеет решений, т. е. она несовместна.

Рассмотрим систему двух неравенств первой степени с двумя неизвестными:

Прямые могут пересекаться или быть параллельными. Рассмотрим каждый из этих случаев в отдельности.

1. Прямые пересекаются.

Предположим, что, решив неравенства системы (4) относительно у, мы получили систему неравенств противоположного смысла:

Так как прямые пересекаются, то

Очевидно, что неравенства (5) выполняются одновременно тогда и только тогда, когда Отсюда вытекает, что в состав решений системы неравенств (5) входят те и только те значения неизвестного которые удовлетворяют неравенству

или

Отсюда находим, что при

Таким образом, решениями системы неравенств (5) будут те и только те системы значений неизвестных х и у, которые удовлетворяют неравенствам

и

Совокупность соотношений, задающих множество всех решений данной системы неравенств, называют общим решением этой системы.

Следовательно, система неравенств (5) имеет следующее общее решение:

и

Геометрически множество всех решений системы (5) изображается совокупностью точек, лежащих выше прямой но ниже прямой т. е. совокупностью точек, лежащих внутри некоторого угла (рис. 21).

Следовательно, система неравенств (5) определяет на плоскости внутреннюю область некоторого угла.

Предположим теперь, что, решив неравенства системы (4) относительно у, мы получили систему неравенств одинакового смысла, например

В этом случае неравенства (6) выполняются одновременно тогда и только тогда, когда при любом данном значении неизвестного значение неизвестного у меньше меньшего из двух чисел

Рис. 21.

Пусть Тогда

и

Отсюда вытекает, что решениями системы (6) являются те и только те системы значений неизвестных х и у, которые удовлетворяют неравенствам

и

Эти неравенства и являются общим решением системы (6). Система неравенств (6) определяет множество точек плоскости, лежащих ниже от каждой из прямых (рис. 22).

Рис. 22.

2. Прямые параллельны.

При решении неравенств системы (4) относительно у можем получить следующие системы неравенств:

Рассмотрим каждый из этих случаев. Для определенности будем считать, что

а) В этом случае общее решение системы неравенств задается неравенством

Система неравенств определяет множество точек полуплоскости, расположенной выше прямой

б) Общее решение системы неравенств задается неравенством

Система неравенств определяет множество точек полуплоскости, расположенной ниже прямой (рис. 24).

Рис. 23.

в) Система решений не имеет. Неравенство определяет множество точек полуплоскости, расположенной выше прямой а неравенство множество точек полуплоскости, расположенной ниже прямой Общих точек эти полуплоскости не имеют (рис. 25).

г) Оощее решение системы неравенств задается неравенствами

Система неравенств определяет полосу — множество точек плоскости, лежащих выше прямой и ниже прямой При система неравенств решений не имеет (рис. 26).

(кликните для просмотра скана)

Рис. 26 (см. скан)

Решение. Решив каждое из неравенств системы относительно у, получим

Отсюда

Следовательно, общим решением заданной системы является;

Система неравенств определяет множество точек плоскости, лежащих выше прямой и ниже прямой (рис. 27) справа от точки их пересечения.

2. Решить систему неравенств

Решение Решив каждое из неравенств системы относительно у, получим:

Отсюда видно, что при любом данном значении значение у должно быть большим большего из чисел

и

Рис. 27,

Рис. 28.

Следовательно, общим решением системы неравенств являются:

и

Система неравенств задает множество точек плоскости, лежащих выше каждой из прямых .

3. Решить систему неравенств

Решение. Решив каждое из неравенств системы относительно у, получим:

Так как при любом данном значении неизвестного число больше числа то никакое значение у не может быть одновременно меньшим, чем и большим, чем

Поэтому заданная система неравенств решений не имеет.

4. Решить систему неравенств

Решение. Решив каждое из неравенств относительно у, получим:

Общее решение данной системы задается неравенствами

Заданная система неравенств определяет множество точек плоскости, лежащих выше прямой но ниже прямой (рис. 29).

В процессе решения системы двух неравенств первой степени с двумя неизвестными мы решали заданные неравенства относительно неизвестного у. С таким же успехом можно бы то бы решать заданные неравенства относительно неизвестного и провести все те же рассуждения. Рассмотренный способ решения систем двух неравенств первой степени с двумя неизвестными нельзя применять тогда, когда одно из неравенств не содержит а второе не содержит у. В этом случае, решив каждое из заданных неравенств относительно неизвестного, входящего в него, получим следующую систему неравенств

Если, например, в обоих этих неравенствах V обозначает символ то имеем:

Первое неравенство определяет множество точек полуплоскости, расположенной справа от прямой второе — множество точек полуплоскости, расположенной выше от прямой Система этих неравенств определяет внутреннюю область прямого угла (рис. 30).

Рис. 29.

Рис. 30.