Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Решение систем алгебраических неравенств первой степени с двумя неизвестнымиНеравенство первой степени с двумя неизвестными в общем виде записывается так:
где V обозначает один из символов
Рассмотрим неравенство
Решив это неравенство относительно
а при
или, положив
при
при Выражение
Рис. 19. Легко убедиться, что координаты любой точки удовлетворяют неравенству (1), принадлежит полуплоскости (I). Если же координаты точки удовлетворяют неравенству (2), то она принадлежит полуплоскости (II). Отсюда вытекает, что совокупность всех решений неравенства (1) изображается геометрически множеством точек полуплоскости (I), а неравенства (2) — множеством точек полуплоскости (II). В этом случае говорят, что неравенство (1) выполняется во всех точках полуплоскости (I), а неравенство (2) — во всех точках полуплоскости (II). Так как неравенство (1) выполняется во всех точках полуплоскости (I) и только в них, а неравенство (2) — во всех точках полуплоскости (II) и только в них, то говорят, что неравенство (1) определяет полуплоскость (I), а неравенство (2) — полуплоскость (II). При рассмотрении неравенства Решение неравенств Пример. Решить неравенство
Решение. Решив заданное неравенство относительно у, получим равносильное ему неравенство
Совокупность всех решений заданного неравенства геометрически изображается множеством точек полуплоскости, расположенной ниже прямой
Рис. 20. Система неравенств первой степени с двумя неизвестными после перенесения всех членов каждого неравенства в левую его часть записывается так:
Для определенности будем считать, что в каждом из неравенств знак V обозначает символ
Совокупность решений каждого из неравенств этой системы изображается множеством точек некоторой полуплоскости. Следовательно, совокупность всех решений системы (3) изображается множеством точек общей части этих полуплоскостей. Общая часть этих полуплоскостей может быть многоугольником, бесконечной областью, ограниченной некоторой незамкнутой ломаной линией, полосой, содержащейся между двумя параллельными, или пустым множеством. Последний случай имеет место тогда, когда полуплоскости, точками которых изображаются решения неравенств системы (3), не имеют общей части. В этом случае система (3) не имеет решений, т. е. она несовместна. Рассмотрим систему двух неравенств первой степени с двумя неизвестными:
Прямые 1. Прямые Предположим, что, решив неравенства системы (4) относительно у, мы получили систему неравенств противоположного смысла:
Так как прямые Очевидно, что неравенства (5) выполняются одновременно тогда и только тогда, когда
или
Отсюда находим, что Таким образом, решениями системы неравенств (5) будут те и только те системы значений неизвестных х и у, которые удовлетворяют неравенствам
и
Совокупность соотношений, задающих множество всех решений данной системы неравенств, называют общим решением этой системы. Следовательно, система неравенств (5) имеет следующее общее решение:
и
Геометрически множество всех решений системы (5) изображается совокупностью точек, лежащих выше прямой Следовательно, система неравенств (5) определяет на плоскости внутреннюю область некоторого угла. Предположим теперь, что, решив неравенства системы (4) относительно у, мы получили систему неравенств одинакового смысла, например
В этом случае неравенства (6) выполняются одновременно тогда и только тогда, когда при любом данном значении неизвестного
Рис. 21. Пусть
и
Отсюда вытекает, что решениями системы (6) являются те и только те системы значений неизвестных х и у, которые удовлетворяют неравенствам
и
Эти неравенства и являются общим решением системы (6). Система неравенств (6) определяет множество точек плоскости, лежащих ниже от каждой из прямых
Рис. 22. 2. Прямые При решении неравенств системы (4) относительно у можем получить следующие системы неравенств:
Рассмотрим каждый из этих случаев. Для определенности будем считать, что а) В этом случае общее решение системы неравенств задается неравенством
Система неравенств определяет множество точек полуплоскости, расположенной выше прямой б) Общее решение системы неравенств задается неравенством
Система неравенств определяет множество точек полуплоскости, расположенной ниже прямой
Рис. 23. в) Система решений не имеет. Неравенство г) Оощее решение системы неравенств задается неравенствами
Система неравенств определяет полосу — множество точек плоскости, лежащих выше прямой (кликните для просмотра скана) Рис. 26 (см. скан) Решение. Решив каждое из неравенств системы относительно у, получим
Отсюда
Следовательно, общим решением заданной системы является;
Система неравенств определяет множество точек плоскости, лежащих выше прямой 2. Решить систему неравенств
Решение Решив каждое из неравенств системы относительно у, получим:
Отсюда видно, что при любом данном значении
и
Рис. 27,
Рис. 28. Следовательно, общим решением системы неравенств являются:
и
Система неравенств задает множество точек плоскости, лежащих выше каждой из прямых 3. Решить систему неравенств
Решение. Решив каждое из неравенств системы относительно у, получим:
Так как при любом данном значении неизвестного Поэтому заданная система неравенств решений не имеет. 4. Решить систему неравенств
Решение. Решив каждое из неравенств относительно у, получим:
Общее решение данной системы задается неравенствами
Заданная система неравенств определяет множество точек плоскости, лежащих выше прямой В процессе решения системы двух неравенств первой степени с двумя неизвестными мы решали заданные неравенства относительно неизвестного у. С таким же успехом можно бы то бы решать заданные неравенства относительно неизвестного
Если, например, в обоих этих неравенствах V обозначает символ
Первое неравенство определяет множество точек полуплоскости, расположенной справа от прямой
Рис. 29.
Рис. 30.
|
1 |
Оглавление
|