3. Решение системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными в общем виде.

Обший вид системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными

Предположим, что в обоих уравнениях коэффициенты при квадратах неизвестных, т. е. отличны от нуля. Для решения заданной системы из первого ее уравнения, умноженного на вычтем второе уравнение, умноженное на Получим систему

равносильную заданной. Обозначив коэффициенты первого уравнения соответственно буквами запишем эту систему так:

Из первого уравнения системы (20) находим:

Подставив это значение неизвестного во второе уравнение системы (20), получим уравнение

которое после приведения всех его членов к общему знаменателю в общем случае будет иметь вид

Решив последнее, найдем, вообще говоря, четыре значения неизвестного Подставив эти значения вместо в соотношение (21), определим соответствующие значения неизвестного Следовательно, в общем случае заданная система уравнений имеет четыре решения.

Заметим, что область определения уравнения (21) уже, чем область определения первого уравнения системы, ибо для уравнения (21) системы значений неизвестных, для которых т. е. не являются допустимыми. Поэтому уравнение (21) может оказаться неравносильным первому уравнению системы (20), вследствие чего, решая заданную систему изложенным выше способом, мы можем потерять некоторые ее решения. Именно будут потеряны (если они существуют) решения; для которых

Если, решая систему двух уравнений второй степени с двумя неизвестными изложенным выше способом, мы найдем четыре решения системы, то, значит, никаких решений мы не потеряли, так как такая система не может иметь больше четырех решений. Если же мы найдем меньше, чем четыре решения, то надо исследовать, не имеет ли данная система решений, для которых Для этого значение подставим в первое уравнение системы (20). Тогда в этом уравнении коэффициент при превратится в нуль. Если при этом сумма других членов уравнения не превращается в нуль, то система (20), а следовательно, и заданная система решений, для которых не имеют. Если же значение тождественно удовлетворяет первому уравнению системы (20), то подставим его во второе уравнение этой системы. Получится, вообще говоря, квадратное уравнение, решив которое найдем соответствующие значения

Решая систему (18), мы предполагали, что коэффициенты отличны от нуля. Если же по крайней мере один из них равен нулю, то решение системы упрощается. Действительно, если, например, то заданная система имеет вид системы (19) и, следовательно, ее можно решать так, как решалась система (19).

Пример. Решить систему уравнений

Из первого уравнения вычтем второе; получим систему

равносильную заданной. Из первого уравнения этой системы находим

Подставив найденное для 2 выражение во второе уравнение системы (23) и выполнив соответствующие преобразования, получим:

или

Решениями этого уравнения являются:

Соответствующие значения неизвестного :

Итак, заданная система имеет четыре решения:

Так как заданная система не может иметь более четырех решений, то найденными исчерпываются все ее решения.