§ 4. Решение неравенств

Предположим, что нам дано неравенство

где функции от переменных означает один из символов Как и в случае уравнений, переменные будем называть неизвестными, а неравенство (1) — неравенством с неизвестными. Мы знаем, что неравенство (1) может быть верным при одних системах значений неизвестных и неверным при других системах их значений.

Всякая допустимая система значении неизвестных при которых неравенство (1) верно, называется решением этого неравенства. Иначе, говоря, допустимую систему знлчений неизвестных, называют решением нерлвенства (1), если

Как и в случае уравнений, решение неравенства с неизвестными будем записывать в виде последовательности чисел являющихся значениями неизвестных, или в виде совокупности равенств Если система чисел является решением неравенства (1), то говорят, что она удовлетворяет неравенству (1). Если же не является решением неравенства (1), то говорят, что эта система чисел неравенству (1) не удовлетворяет.

Пример. есть неравенство с тремя неизвестными. Система значений неизвестных удовлетворяет этому неравенству, а система значений ему не удовлетворяет.

Решить неравенство означает найти множество всех его решений.

Совокупность неравенств

для которых надо найти общие решения, называют системой неравенств.

Система чисел, удовлетворяющая каждому из неравенств, входящих в данную систему, называется решением этой системы неравенств. Решить систему неравенств означает найти множество всех ее решений.

Из определения решения системы неравенств вытекает, что множество всех решений системы неравенств является общей частью множеств решений каждого из неравенств, входящих в нее. Если все решения неравенства

удовлетворяют неравенству

то говорят, что неравенство (4) является следствием неравенства (3). Аналогично систему неравенств

называют следствием системы

если всякое решение системы (6) является решением системы (5).

Два неравенства (две системы неравенств) называются равносильными, если каждое (каждая) из них является следствием другого (другой). Иначе говоря, два неравенства (две системы неравенств) называются равносильными, если всякое решение каждого (каждой) из них является решением и другого (другой).

Обычно в процессе решения неравенств и их систем, как и при решении уравнений, заданные неравенства приходится заменять другими, равносильными заданным, но более простыми. Такая замена чаще всего основывается на следующих теоремах о равносильности неравенств.

Теорема 1. Если к обеим частям неравенства

прибавить функцию имеющую смьхлпри всех допустимых системах значений неизвестных, то получим неравенство

равносильное заданному.

Доказательство. Действительно, если система чисел является решением неравенства (7), то

Отсюда

и, значит, система чисел является также решением и неравенства (8). Наоборот, если есть решение неравенства (8), то

и, следовательно,

а это означает, что является решением неравенства (7).

Таким образом, каждое решение любого из неравенств (7) и (8) является решением и другого из них.

Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком.

Теорема 2. Если функция с» при всех допустимых системах значений неизвестных положительна, то неравенства

и

равносильны.

Доказательство. Действительно, если система значений неизвестных есть решение нераьенства (9), т. е.

то вследствие со

и, следовательно, есть также решение и неравенства (10). Наоборот, если есть решение неравенства (10), т. е.

то, так как

и поэтому есть решение системы (9). Итак, каждое решение любого из неравенств и (10) является решением и другого из них.

Теорема 3. Если функция отрицательна при всех допустимых системах неизвестных, то неравенства

и

равносильны.

Доказательство. Если есть решение неравенства (11)

то в силу имеем

и, значит, есть решение неравенства (12). Наоборот, если есть решение неравенства (12)

то, ввиду получаем:

т. е.

и поэтому является решением также и неравенства (11).

Следовательно, каждое решение любого из неравенств (11) и (12) является решением и другого из них. Теорема 4. Если в системе неравенств

любое ее неравенство заменим равносильным ему неравенством, то получим систему неравенств, равносильную первоначальной.

Доказательство. Предположим, что в системе (13) неравенство

заменено равносильным ему неравенством

Полученная в результате этой замены система неравенств

равносильна системе (13).

Действительно, системы (13) и (14) отличаются одна от другой лишь неравенством. Так как неравенства этих систем равносильны и, следовательно, имеют одни и те же решения, то всякое решение каждой из систем (13) и (14) будет решением и другой из них.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает следствие:

Если в системе неравенств некоторые из них заменить равносильными, то получится новая система неравенств, равносильная первоначальной.