Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 4. Решение неравенствПредположим, что нам дано неравенство
где Всякая допустимая система значении неизвестных
Как и в случае уравнений, решение неравенства с неизвестными Пример. Решить неравенство означает найти множество всех его решений. Совокупность неравенств
для которых надо найти общие решения, называют системой неравенств. Система чисел, удовлетворяющая каждому из неравенств, входящих в данную систему, называется решением этой системы неравенств. Решить систему неравенств означает найти множество всех ее решений. Из определения решения системы неравенств вытекает, что множество всех решений системы неравенств является общей частью множеств решений каждого из неравенств, входящих в нее. Если все решения неравенства
удовлетворяют неравенству
то говорят, что неравенство (4) является следствием неравенства (3). Аналогично систему неравенств
называют следствием системы
если всякое решение системы (6) является решением системы (5). Два неравенства (две системы неравенств) называются равносильными, если каждое (каждая) из них является следствием другого (другой). Иначе говоря, два неравенства (две системы неравенств) называются равносильными, если всякое решение каждого (каждой) из них является решением и другого (другой). Обычно в процессе решения неравенств и их систем, как и при решении уравнений, заданные неравенства приходится заменять другими, равносильными заданным, но более простыми. Такая замена чаще всего основывается на следующих теоремах о равносильности неравенств. Теорема 1. Если к обеим частям неравенства
прибавить функцию
равносильное заданному. Доказательство. Действительно, если система чисел
Отсюда
и, значит, система чисел
и, следовательно,
а это означает, что Таким образом, каждое решение любого из неравенств (7) и (8) является решением и другого из них. Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком. Теорема 2. Если функция с»
и
равносильны. Доказательство. Действительно, если система значений неизвестных
то вследствие со
и, следовательно,
то, так как
и поэтому Теорема 3. Если функция
и
равносильны. Доказательство. Если
то в силу
и, значит,
то, ввиду
т. е.
и поэтому Следовательно, каждое решение любого из неравенств (11) и (12) является решением и другого из них. Теорема 4. Если в системе неравенств
любое ее неравенство заменим равносильным ему неравенством, то получим систему неравенств, равносильную первоначальной. Доказательство. Предположим, что в системе (13) неравенство
заменено равносильным ему неравенством
Полученная в результате этой замены система неравенств
равносильна системе (13). Действительно, системы (13) и (14) отличаются одна от другой лишь Из доказанной теоремы непосредственно вытекает следствие: Если в системе неравенств некоторые из них заменить равносильными, то получится новая система неравенств, равносильная первоначальной.
|
1 |
Оглавление
|