Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ§ 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестнымИзучение методов решения уравнений начнем рассмотрением способов решения алгебраических уравнений с одним неизвестным. Записывать эти уравнения будем в виде
Как уже отмечалось выше, уравнение
левой частью которого является многочлен Будем считать, что коэффициенты Из курса высшей алгебры известно, что всякое алгебраическое уравнение Вполне закономерно возникает вопрос: как решить уравнение посредством выполнения над его коэффициентами тех или иных операций? Если уравнение решается посредством выполнения над его коэффициентами конечного числа алгебраических операций, то говорят, что это уравнение решается алгебраически. Иначе говоря, решить уравнение алгебраически означает выразить его корни через коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня. Алгебраическое решение уравнений называют также решением уравнения в радикалах. Из курса высшей алгебры известно, что алгебраические уравнения степени не выше четвертой решаются в радикалах. Алгебраические же уравнения степени Главной целью этой главы является изучение элементарных способов алгебраического решения отдельных типов алгебраических уравнений с комплексными (в частности, действительными) коэффициентами в поле комплексных чисел. При решении алгебраических уравнений нам иногда придется использовать некоторые положения теории многочленов от одного переменного, которые изучаются в курсе высшей алгебры. Напомним их. Возьмем многочлен Таким образом,
или
Отсюда
причем это равенство справедливо при любом
а отсюда
При заданных (см. скан) Эту схему называют схемой Горнера, а изложенный метод отыскания частного Пример. Разделить (см. скан) Таким образом, искомым частным будет Теорема. Остаток от деления многочлена Действительно, пусть
Заменив в этом равенстве переменное
Отсюда
Этим теорема доказана. Если значение многочлена Следствие. Для того чтобы многочлен Действительно, если число с является корнем многочлена Заметим, что раз Может случиться, что многочлен пень этого двучлена. Если, например, многочлен Рассмотренные положения касаются многочленов от одного переменного. Вполне понятно, что они могут быть применены ко всякому алгебраическому уравнению
|
1 |
Оглавление
|