Глава III. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ

§ 1. Алгебраические уравнения n-й степени с одним неизвестным

Изучение методов решения уравнений начнем рассмотрением способов решения алгебраических уравнений с одним неизвестным. Записывать эти уравнения будем в виде

Как уже отмечалось выше, уравнение

левой частью которого является многочлен степени от называется алгебраическим уравнением степени с одним неизвестным. Числа называют коэффициентами уравнения, причем называют старшим коэффициентом, а свободным членом.

Будем считать, что коэффициенты принадлежат некоторому фиксированному числовому полю Старший коэффициент должен быть отличным от нуля, ибо при уравнение (1) было бы уравнением степени меньшей, чем . В соответствии с общим определением решения уравнения всякое значение неизвестного при котором левая часть уравнения (1) равна нулю, называют решением или корнем этого уравнения.

Из курса высшей алгебры известно, что всякое алгебраическое уравнение степени с одним неизвестным, с любыми числовыми коэффициентами имеет в поле комплексных чисел решений.

Вполне закономерно возникает вопрос: как решить уравнение посредством выполнения над его коэффициентами тех или иных операций? Если уравнение решается посредством выполнения над его коэффициентами конечного числа алгебраических операций, то говорят, что это уравнение решается алгебраически. Иначе говоря, решить уравнение алгебраически означает выразить его корни через коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в целую степень и извлечения корня.

Алгебраическое решение уравнений называют также решением уравнения в радикалах.

Из курса высшей алгебры известно, что алгебраические уравнения степени не выше четвертой решаются в радикалах. Алгебраические же уравнения степени в общем случае в радикалах не решаются: не существует формул, которые выражали бы с помощью радикалов корни уравнения данной степени через его коэффициенты, обозначенные буквами. Известно также, что существуют уравнения любой степени бис численными коэффициентами, которые не решаются в радикалах.

Главной целью этой главы является изучение элементарных способов алгебраического решения отдельных типов алгебраических уравнений с комплексными (в частности, действительными) коэффициентами в поле комплексных чисел.

При решении алгебраических уравнений нам иногда придется использовать некоторые положения теории многочленов от одного переменного, которые изучаются в курсе высшей алгебры. Напомним их.

Возьмем многочлен степени с произвольными числовыми коэффициентами и линейный двучлен с, свободным членом которого является произвольное число с. Если мы разделим многочлен на двучлен с, то получим какое-то частное и остаток Так как делитель с есть многочлен первой степени, то частное должно быть многочленом степени остаток постоянным числом, поэтому будем обозначать его через

Таким образом,

или

Отсюда

причем это равенство справедливо при любом т. е. тождественно. Два многочлена от переменного тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях Поэтому из нашего равенства вытекает

а отсюда

При заданных их — с эти соотношения позволяют определить коэффициенты частного и остаток для вычисления коэффициента надо предшествующий коэффициент умножить на свободный член с и к полученному произведению прибавить соответствующий коэффициент остаток вычисляется по этому же правилу. Вычисления размещают в виде следующей схемы

(см. скан)

Эту схему называют схемой Горнера, а изложенный метод отыскания частного и остатка методом Горнера.

Пример. Разделить на Составляем таблицу

(см. скан)

Таким образом, искомым частным будет а остаток

Теорема. Остаток от деления многочлена на линейный двучлен с равен значению при

Действительно, пусть

Заменив в этом равенстве переменное числом с, будем иметь

Отсюда

Этим теорема доказана.

Если значение многочлена при равно нулю, т. е. то число с называется корнем многочлена

Следствие. Для того чтобы многочлен делился на линейный двучлен , необходимо и достаточно, чтобы число с было корнем этого многочлена.

Действительно, если число с является корнем многочлена т. е. то в равенстве остаток так как следовательно, делится на . Наоборот, если делится на , то остаток а поэтому и Следовательно, число с является корнем многочлена

Заметим, что раз равно остатку от деления многочлена на с, то для быстрого вычисления значения многочлена при используют изложенный выше метод Горнера, т. е. вместо непосредственного вычисления находят методом Горнера остаток

Может случиться, что многочлен делится не только на двучлен с, но также и на некоторую целую

пень этого двучлена. Если, например, многочлен делится на но уже не делится на говорят, что число с является корнем многочлена кратности а.

Рассмотренные положения касаются многочленов от одного переменного. Вполне понятно, что они могут быть применены ко всякому алгебраическому уравнению (точнее, к его левой части), поскольку его левая часть есть многочлен.