8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения.

Предположим, что дана система уравнений

причем левая часть одного из них, например первого, разлагается в произведение нескольких множителей, т. е.

В этом случае систему можно записать так:

Множество решений системы (51), а следовательно, и системы (50) совпадает с множеством всех решений систем

Действительно, если есть решение системы (51), то оно удовлетворяет всем уравнениям этой системы, в частности и первому ее уравнению, и, значит, обращает в нуль хотя бы один из множителей

например где Отсюда вытекает, что это решение удовлетворяет всем уравнениям системы

Следовательно, всякое решение системы (51) является решением по крайней мере одной из систем (52). Наоборот, всякое решение любой из систем (52) удовлетворяет всем уравнениям системы (51). Таким образом, для нахождения всех решений системы (50) достаточно найти все решения системы (52).

Пример. Решить систему уравнений

Эту систему можно записать в виде

Поэтому для ее решения достаточно найти все решения систем

Решениями первой из этих систем являются

и решениями второй —

Мы рассмотрели пути решения некоторых линейных систем алгебраических уравнений, записанных в общем виде. Следует указать, что не всегда эти пути приводят к решению заданной нелинейной системы алгебраических уравнений. Объясняется это тем, что применением рассмотренных приемов решение заданной системы уравнений сводится к решению одного или нескольких алгебраических уравнений с одним неизвестным, степени не ниже второй, которые, как известно, не всегда решаются в радикалах.

В ряде случаев удается найти решение системы уравнений с помощью специальных искусственных приемов, использующих какие-либо ее особенности. Такие приемы носят частный характер и не поддаются теоретическим обобщениям. Рассмотрим некоторые примеры систем такого рода и приемы их решения.

9. Решить систему уравнений

Решение. Вследствие формул Виета значения неизвестных удовлетворяющие уравнениям системы, являются корнями квадратного уравнения

Следовательно, заданная система имеет два решения:

10. Решить систему уравнений

Решение. Положив здесь получим предыдущую систему

11. Решить систему уравнений

Решение. Прибавим к первому уравнению системы второе, умноженное сначала на 2, а затем на —2. Получим систему

равносильную заданной.

Отсюда находим:

Возможны четыре комбинации знаков, а именно:

Решив эти четыре системы линейных уравнений, найдем четыре решения заданной системы.

12. Решить систему уравнений

где натуральное число.

Решение. Если то или или Подставляя поочередно эти значения в первое уравнение и решая его, найдем решения системы. Предположим, что Возведем обе части второго уравнения в степень. Получим систему

Система (54), очевидно, является следствием заданной системы, но неравносильна ей. Действительно, система (54) является следствием всякой системы

где есть любой корень степени из 1, и поэтому ее решениями будут не только решения системы (53), а и всякой системы (55).

Если являются корнями квадратного уравнения то можно положить или

Отсюда

или

В поле комплексных чисел корень степени из всякого отличного от нуля числа имеет значений. Следовательно, имеют по значений. Возможны комбинаций значений комбинаций значений Каждая из этих комбинаций является решением системы (54). Таким образом, в поле комплексных чисел система (54) имеет решений.

Так как система (54) неравносильна системе (53), то не каждое решение системы (54) является решением системы (53). Решение системы (54) тогда и только тогда будет решением системы (53), когда оно удовлетворяет уравнению т. е. когда Следовательно, для нахождения решений заданной системы уравнений надо среди всех возможных комбинаций значений выбрать те, которые удовлетворяют условию

Однако в практике решения таких систем уравнений поступают иначе. Найдя все значения неизвестного подставляют их поочередно в соотношение и определяют соответствующие значения неизвестного Найденные таким способом пары значений неизвестных и являются решениями заданной системы уравнений. В самом деле, если есть одно из значений то Отсюда вытекает, что значит, ибо

Следовательно, а это и означает, что является решением заданной системы уравнений. Аналогичные рассуждения проводятся и в том случае, когда является одним из значений Так как неизвестное имеет значений и для каждого из них определено соответствующее значение

неизвестного то в поле комплексных чисел заданная система уравнений имеет решений.

Пример. Решим этим способом систему уравнений

Возведя обе части второго уравнения в четвертую степень, получаем:

Вспомогательным квадратным уравнением является уравнение

Корни его Следовательно, или Отсюда находим значения неизвестного

Подставив поочередно эти значения в уравнение находим соответствующие значения неизвестного

Итак, заданная система уравнения имеет следующие решения:

13. Решить систему уравнений

Решение. Так как то заданную систему можно записать в виде

или

Если то имеем систему

которую мы уже рассмотрели.

Если же то систему (56) решают методом подстановки.

14. Решить систему уравнений

Решение. Так как то заданную систему запишем так:

Отсюда

или

Введем новое неизвестное Тогда первое уравнение системы (58) запишется:

Если дискриминант этого квадратного уравнения то оно имеет два решения: . В этом случае для решения системы (58) достаточно решить две системы уравнений:

каждая из которых дает два решения. Если же дискриминант то уравнение имеет двойной корень и для определения и надо решить систему

16. Решить систему

Решение. Если то второе уравнение системы имеет решения где произвольные числа. Подставив каждое из этих решений в первое уравнение системы, получим уравнения решив которые найдем значения а значит, и решения заданной системы. Если же то второе уравнение, а вместе с ним и заданная система не имеют решений, для которых . В этом случае решим второе уравнение системы относительно и найденное выражение подставим в первое уравнение. Получим трехчленное уравнение

которое в обшем случае имеет решений. Найдя решения этого уравнения и подставив их поочередно в соотношение найдем соответствующие значения неизвестного Следовательно, в общем случае заданная система имеет решений.

16. Решить систему уравнений

Решение. Так как

то запишем систему так:

Введем теперь новые неизвестные и связанные с неизвестными соотношениями

Получим систему

Решив ее способом подстановки, находим откуда

Составляем вспомогательное квадратное уравнение

Отсюда

Следорательно,

есть решения заданной системы уравнений.