Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике 8. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, левая часть одного из которых представляется в виде произведения.Предположим, что дана система уравнений
причем левая часть одного из них, например первого, разлагается в произведение нескольких множителей, т. е.
В этом случае систему можно записать так:
Множество решений системы (51), а следовательно, и системы (50) совпадает с множеством всех решений систем
Действительно, если
например
Следовательно, всякое решение системы (51) является решением по крайней мере одной из систем (52). Наоборот, всякое решение любой из систем (52) удовлетворяет всем уравнениям системы (51). Таким образом, для нахождения всех решений системы (50) достаточно найти все решения системы (52). Пример. Решить систему уравнений
Эту систему можно записать в виде
Поэтому для ее решения достаточно найти все решения систем
Решениями первой из этих систем являются
и решениями второй —
Мы рассмотрели пути решения некоторых линейных систем алгебраических уравнений, записанных в общем виде. Следует указать, что не всегда эти пути приводят к решению заданной нелинейной системы алгебраических уравнений. Объясняется это тем, что применением рассмотренных приемов решение заданной системы уравнений сводится к решению одного или нескольких алгебраических уравнений с одним неизвестным, степени не ниже второй, которые, как известно, не всегда решаются в радикалах. В ряде случаев удается найти решение системы уравнений с помощью специальных искусственных приемов, использующих какие-либо ее особенности. Такие приемы носят частный характер и не поддаются теоретическим обобщениям. Рассмотрим некоторые примеры систем такого рода и приемы их решения. 9. Решить систему уравнений
Решение. Вследствие формул Виета значения неизвестных
Следовательно, заданная система имеет два решения:
10. Решить систему уравнений
Решение. Положив здесь
11. Решить систему уравнений
Решение. Прибавим к первому уравнению системы второе, умноженное сначала на 2, а затем на —2. Получим систему
равносильную заданной. Отсюда находим:
Возможны четыре комбинации знаков, а именно:
Решив эти четыре системы линейных уравнений, найдем четыре решения заданной системы. 12. Решить систему уравнений
где Решение. Если
Система (54), очевидно, является следствием заданной системы, но неравносильна ей. Действительно, система (54) является следствием всякой системы
где Если
Отсюда
или
В поле комплексных чисел корень Так как система (54) неравносильна системе (53), то не каждое решение системы (54) является решением системы (53). Решение Однако в практике решения таких систем уравнений поступают иначе. Найдя все значения неизвестного Следовательно, неизвестного Пример. Решим этим способом систему уравнений
Возведя обе части второго уравнения в четвертую степень, получаем:
Вспомогательным квадратным уравнением является уравнение
Корни его
Подставив поочередно эти значения
Итак, заданная система уравнения имеет следующие решения:
13. Решить систему уравнений
Решение. Так как
или
Если
которую мы уже рассмотрели. Если же 14. Решить систему уравнений
Отсюда
или
Введем новое неизвестное
Если дискриминант этого квадратного уравнения
каждая из которых дает два решения. Если же дискриминант
16. Решить систему
Решение. Если
которое в обшем случае имеет 16. Решить систему уравнений
Решение. Так как
то запишем систему так:
Введем теперь новые неизвестные и
Получим систему
Решив ее способом подстановки, находим
Составляем вспомогательное квадратное уравнение
Отсюда
Следорательно,
есть решения заданной системы уравнений.
|
1 |
Оглавление
|