§ 2. Тождественные неравенства

При решении различных задач наряду с неравенствами, в обе части которых входят лишь постоянные величины, встречаются также неравенства, в которые входят переменные величины.

Неравенство, в которое входит переменных величин в общем виде записывают следующим образом:

где под подразумевают некоторые функции, а под знаком V — один из символов Функцию называют левой, а правой частью неравенства. В соответствии с тем, в каком поле — рациональных или действительных чисел — рассматривается неравенство, всякую систему рациональных или действительных значений переменных при которых левая и правая части неравенства имеют смысл, называют допустимой системой значений переменных. Неравенство, в которое входят переменные величины, может быть верным для одних допустимых систем значений переменных и неверным для других. Так, например, неравенство верно при и неверно при

Если неравенство (1) имеет место при всех допустимых системах значений переменных то говорят, что оно Выполняется тождественно, и его называют тождественным неравенством.

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые тождественные неравенства, которые применяются при решении многих задач.

1. Неравенство Коши. При любых действительных значениях выполняется неравенство

или сокращенно,

причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда значения пропорциональны, т. е. когда

Доказательство. Положив в тождестве Лагранжа (см. стр. будем иметь:

Так как при любых действительных значениях правая часть этого тождества, будучи суммой квадратов действительных чисел, неотрицательна, то

и следовательно,

Равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда каждое слагаемое правой части тождества (2) равно нулю, т. е. когда

Но если эти равенства выполняются, то и, следовательно,

2. Для любых положительных чисел выполняется неравенство — причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда

Доказательство. Для любых действительных чисел справедливо неравенство а следовательно, и неравенство причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда Если числа положительные, то, разделив обе части этого неравенства на получим

Этим справедливость неравенства доказана. Следствие. Положив в доказанном неравенстве получим причем равенство будет тогда и только тогда, когда

3. Если произведение двух положительных чисел равно 1, то их сумма не меньше 2, т. е. если то Равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда

Доказательство. Если то и, следовательно,

Равенство имеет место только тогда, когда

4. произведение положительных чисел равно 1, то их сумма не меньше т. е. Равенство имеет место только тогда, когда

Доказательство. При утверждение справедливо. Предположим, что оно справедливо для и докажем,что тогда оно справедливо и для Иначе говоря, предположив, что для любых положительных чисел удовлетворяющих условию выполняется неравенство

докажем, что

Действительно, если а то возможны два различных случая.

1. Все числа а, равны между собой, т. е. . В этом случае

2. Не все числа равны между собой. В этом случае среди чисел найдутся как большие, так и меньшие единицы, ибо если бы среди них не было больших, чем 1, то их произведение было бы меньше, чем 1, а если бы не было меньших, чем 1, то произведение было бы больше, чем 1. Следовательно, по крайней мере одно из этих чисел больше, чем 1, и по крайней мере одно меньше, чем 1. Ради удобства рассуждений предположим, что По условию Отоода, положив получаем Так как произведение положительных чисел равно 1, то, по предположению, их сумма не меньше, чем т. е.

Отсюда

Но Поэтому

и, следовательно,

Итак, наше утверждение справедливо при и из предположения, что оно справедливо для вытекает его справедливость и для Тогда в силу принципа математической индукции оно справедливо для всякого натурального числа

Большую роль в математике играют неравенства, связывающие между собой различные средние значения.

К рассмотрению таких неравенств мы сейчас и переходим.

Пусть даны чисел Средним этой группы чисел называют любое число, заключенное между наименьшим и наибольшим из них. Различные средние находят широкое применение в физике при обработке результатов опыта, в математической статистике, приближенных вычислениях и т. д.

Наиболее употребляемыми из срегних являются среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное.

а) Средним арифметическим действительных чисел называют число

Пример. Средним арифметическим чисел 5; —3, 0,5; 6 и 1,5 является

Среднее арифметическое чисел содержится между наименьшим и наибольшим из них

Действительно, обозначив будем иметь

Сложив почленно эти неравенства и разделив затем на получим

Равенство имеет место только тогда, когда

б) Средним геометрическим положительных чисел называют число равное корню степени из их произведения

Пример. Среднее геометрическое чисел 8, 1, 4, — равно

Среднее геометрическое положительных чисел содержится между наименьшим и наибольшим из них, т. е.

Действительно, если то

Перемножая почленно эти неравенства и извлекая затем из каждого члена неравенства корень степени, получаем

Равенство имеет место только тогда, когда

в) Средним гармоническим действительных чисел называют число

Пример. Средним гармоническим чисел 3, 4, 6 является

Среднее гармоническое положительных чисел содержится между наименьшим и наибольшим из них, т. е.

Действительно, среднее арифметическое положительных чисел

содержится между т. е.

Так как

Отсюда

г) Средним квадратичным действительных чисел называют число

Пример. Средним квадратичным чисел 1, —5, 7,5 является

Среднее квадратичное действительных чисел является средним их абсолютных величин т. е.

Действительно, так как переднее арифметическое чисел содержится между наименьшим и наибольшим из них, т. е.

то

Отсюда

и, следовательно

5. Среднее геометрическое положительных чисел не больше их среднего арифметического

Равенство имеет место только тогда, когда

Доказательство. Возьмем положительных чисел где Произведение их равно 1. Действительно, . В силу утверждения причем равенство имеет место только тогда, когда т. е. когда Отсюда равенство имеет место только при условии, что

6. Среднее гармоническое положительных чисел не больше их среднего геометрического

Равенство имеет место только при условии, что

Доказательство. Среднее геометрическое положительных чисел не больше, чем их среднее арифметическое, т. е.

Равенство имеет место только тогда, когда Отсюда

т. е.

Равенство имеет место только при

7. Среднее арифметическое положительных чисел не больше их среднего квадратичного

Равенство имеет место только тогда, когда

Доказательство. Для любых положительных а, и справедливо а значит, и Равенство имеет место только тогда, когда Отсюда вытекает, что

Таким образом, для любых положительных

причем равенства имеют место только тогда, когда

Докажем теперь, что для всяких положительных выполняется соотношение

причем равенство имеет место только тогда, когда Действигельно, при утверждение

верно. Предположим, что оно верно для что

Тогда

Отсюда

причем равенство имеет место только тогда, когда Таким образом, из предположения, что утверждение верно для вытекает его справедливость и для Следовательно, в силу принципа математической индукции оно верно для всякого натурального числа Таким образом,

причем равенство имеет место только при условии, что Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего неравенства и разделив их на получим

иричем равенство имеет место только тогда, когда

Таким образом, мы доказали, что для всяких положительных чисел выполняются неравенства

Равенства имеют место только тогда, когда

В ряде случаев бывает целесообразно рассматривать более общую степенную среднюю, которая для положительных чисел при любом действительном а определяется равенством

Ясно, что рассмотренные раньше средние являются частными случаями степенной средней. Например, арифметическая средняя получается при средняя квадратичная при средняя гармоническая — при Доказанные неравенства между различными средними оказываются частными случаями общего неравенства между степенными средними: для положительных чисел при справедливо неравенство

8. Неравенство Бернулли. Если рациональное число, большее единицы, то при любом положительном значении выполняется неравенство

Доказательство. Пусть где натуральные числа, причем

Среднее геометрическое положительных чисел меньше, чем их среднее арифметическое, т. е.

Отсюда

т.е.

9. Для любых действительных чисел выполняется неравенство

Иногда это утверждение формулируют так:

Абсолютная величина суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых.

Доказательство. Пусть суть числа с одним и тем же знаком. Тогда, как это вытекает из правила сложения таких чисел, абсолютная величина суммы равна сумме абсолютных величин слагаемых. Следовательно, в этом случае имеет место равенство

Если же среди слагаемых есть и положительные и отрицательные числа, то для вычисления абсолютной величины суммы достаточно сложить отдельно абсолютные величины положительных и абсолютные величины отрицательных слагаемых и затем из большей суммы вычесть меньшую. Для вычисления же суммы абсолютных величин всех слагаемых достаточно к сумме абсолютных величин положительных слагаемых прибавить сумму абсолютных величин отрицательных слагаемых. Отсюда вытекает, что в этом случае будет иметь место неравенство

10. Для всяких действительных чисел выполняется неравенство

Доказательство. Если то имеем равенство Если же по крайней мере одно из чисел отлично от нуля, то следовательно,

Поэтому в этом случае имеем:

Примечание. При доказанному неравенству можно дать геометрическое истолкование. Действительно, при будем считать, что длины катетов прямоугольного треугольника, длина гипотенузы этого треугольника. Неравенство выражает очевидный геометрический факт, что длина гипотенузы меньше, чем сумма длин катетов. Аналогично при неравенство выражает тот факт, что длина диагонали прямоугольного параллелепипеда, построенного на отрезках меньше суммы длин его ребер.

11. Для всякого натурального выполняется неравенство

Доказательство. При неравенство очевидно. Так как при всяком натуральном выполняется неравенство то при имеем:

Следовательно,

12. Для всякого натурального выполняется неравенство

Доказательство. Так как при любом натуральном выполняется неравенство