Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2. Тождественные неравенстваПри решении различных задач наряду с неравенствами, в обе части которых входят лишь постоянные величины, встречаются также неравенства, в которые входят переменные величины. Неравенство, в которое входит
где под Если неравенство (1) имеет место при всех допустимых системах значений переменных В этом параграфе мы рассмотрим некоторые тождественные неравенства, которые применяются при решении многих задач. 1. Неравенство Коши. При любых действительных значениях
или сокращенно,
Доказательство. Положив в тождестве Лагранжа (см. стр.
Так как при любых действительных значениях
и следовательно,
Равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда каждое слагаемое правой части тождества (2) равно нулю, т. е. когда
Но если эти равенства выполняются, то 2. Для любых положительных чисел Доказательство. Для любых действительных чисел
Этим справедливость неравенства доказана. Следствие. Положив в доказанном неравенстве 3. Если произведение двух положительных чисел Доказательство. Если Равенство имеет место только тогда, когда 4. произведение Доказательство. При
докажем, что
Действительно, если а 1. Все числа а, равны между собой, т. е. 2. Не все числа
Отсюда
Но
и, следовательно,
Итак, наше утверждение справедливо при Большую роль в математике играют неравенства, связывающие между собой различные средние значения. К рассмотрению таких неравенств мы сейчас и переходим. Пусть даны Наиболее употребляемыми из срегних являются среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее гармоническое и среднее квадратичное. а) Средним арифметическим действительных чисел
Пример. Средним арифметическим чисел 5; —3, 0,5; 6 и 1,5 является
Среднее арифметическое чисел
Действительно, обозначив
Сложив почленно эти неравенства и разделив затем на
Равенство имеет место только тогда, когда б) Средним геометрическим положительных чисел
Пример. Среднее геометрическое чисел 8, 1, 4, — равно
Среднее геометрическое положительных чисел
Действительно, если
Перемножая почленно эти неравенства и извлекая затем из каждого члена неравенства корень
Равенство имеет место только тогда, когда в) Средним гармоническим действительных чисел
Пример. Средним гармоническим чисел 3, 4, 6 является
Среднее гармоническое положительных чисел
Действительно, среднее арифметическое положительных чисел
содержится между
Так как
Отсюда
г) Средним квадратичным действительных чисел
Пример. Средним квадратичным чисел 1, —5, 7,5 является
Среднее квадратичное действительных чисел
Действительно, так как
то
Отсюда
и, следовательно
5. Среднее геометрическое положительных чисел
Равенство имеет место только тогда, когда Доказательство. Возьмем 6. Среднее гармоническое положительных чисел
Равенство имеет место только при условии, что Доказательство. Среднее геометрическое положительных чисел Равенство имеет место только тогда, когда
т. е.
Равенство имеет место только при 7. Среднее арифметическое положительных чисел
Равенство имеет место только тогда, когда Доказательство. Для любых положительных а, и
Таким образом, для любых положительных
причем равенства имеют место только тогда, когда Докажем теперь, что для всяких положительных
причем равенство имеет место только тогда, когда верно. Предположим, что оно верно для
Тогда
Отсюда
причем равенство имеет место только тогда, когда
причем равенство имеет место только при условии, что
иричем равенство имеет место только тогда, когда Таким образом, мы доказали, что для всяких положительных чисел
Равенства имеют место только тогда, когда В ряде случаев бывает целесообразно рассматривать более общую степенную среднюю, которая для
Ясно, что рассмотренные раньше средние являются частными случаями степенной средней. Например, арифметическая средняя получается при
8. Неравенство Бернулли. Если
Доказательство. Пусть Среднее геометрическое
Отсюда
т.е.
9. Для любых
Иногда это утверждение формулируют так: Абсолютная величина суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых. Доказательство. Пусть
Если же среди слагаемых
10. Для всяких действительных чисел
Доказательство. Если Поэтому в этом случае имеем:
Примечание. При 11. Для всякого натурального
Доказательство. При
Следовательно,
12. Для всякого натурального
Доказательство. Так как при любом натуральном
|
1 |
Оглавление
|