§ 6. Симметрические уравнения

Уравнение вида

в котором коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца, равны, называется симметрически

Симметрическое уравнение имеет следующее свойство: если отличное от нуля число а является его решением, то обратное ему число также будет его решением.

Действительно, если

Будем считать, что в уравнении (1) коэффициента О. Тогда не будет решением этого уравнения, так как при левая часть его равняется а. Поэтму, не теряя корней уравнения (1), исключим из множества допустимых значений неизвестного число 0. Будем считать допустимым для произвольные, отличные от нуля комплексные значения.

Симметрическое уравнение (1) может быть как четной, так и нечетной степени.

Рассмотрим сначала симметрическое уравнение четной степени. Пусть Тогда уравнение (1) запишется так:

Умножив обе части уравнения (2) на выражение определенное и отличное от нуля при всех допустимых значениях и сгруппировав попарно его члены, равноудаленные от начала и от конца, получим равносильное ему уравнение

Введем новое неизвестное у, связанное с неизвестным соотношением

Тогда

Отсюда находим, что

Воспользовавшись этими соотношениями, заменим в уравнении (3) неизвестное новым неизвестным тогда получим уравнение степени от неизвестного у следующего вида;

Полученное уравнение имеет степень в два раза меньшую, нежели первоначальное. Отыскав, если возможно, решения этого уравнения и подставив их поочередно вместо у в равенство получим уравнений относительно неизвестного

Так как не может равняться нулю, то, умножив обе части каждого из уравнений на и перенеся в каждом из них все члены в левую часть, получим соответственно равносильные им квадратные уравнения

Решив уравнения (4), найдем все решений симметрического уравнения (2).

Рассмотрим теперь симметрическое уравнение нечетной степени. Пусть в уравнении (1) показатель Тогда оно запишется так:

Сгруппировав попарно члены уравнения, равноудаленные от начала и от конца, и вынеся за скобки общие множители, будем иметь:

Так как

то, поделив левую часть уравнения (6) на , получим частное следующего вида:

После приведения подобных членов это частное будет выражением, в котором коэффициенты членов, равноудаленных от начала и от конца, равны, т. е. будет иметь вид:

Следовательно, уравнение (6) можно записать так:

Отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет решение и что для определения всех других его решений достаточно решить симметрическое уравнение

Таким образом, решение симметрического уравнения нечетной степени сводится к решению симметрического уравнения четной степени.

Рассмотренные нами симметрические уравнения иногда называют симметрическими уравнениями первого рода.

Уравнение вида:

называется симметрическим уравнением второго рода. Решаются такие уравнения тем же методом, что и

симметрические уравнения четной степени первого рода, но новое неизвестное у связывают с неизвестным соотношением

Пример. Решить уравнение

Одно решение этого уравнения известно: Разделив левую часть уравнения на и приравняв найденное частное нулю, получаем для определения всех других решений симметрическое уравнение

Разделим обе части этого уравнения на и сгруппируем попарно члены, равноудаленные от начала и от конца. Тогда будем иметь уравнение

Произведя в нем подстановку найдем

или

Отсюда

Для определения имеем уравнения

решив которые, находим: