Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 6. Симметрические уравненияУравнение вида
в котором коэффициенты членов, равноудаленных от начала и конца, равны, называется симметрически Симметрическое уравнение имеет следующее свойство: если отличное от нуля число а является его решением, то обратное ему число Действительно, если
Будем считать, что в уравнении (1) коэффициента О. Тогда Симметрическое уравнение (1) может быть как четной, так и нечетной степени. Рассмотрим сначала симметрическое уравнение четной степени. Пусть
Умножив обе части уравнения (2) на выражение определенное и отличное от нуля при всех допустимых значениях
Введем новое неизвестное у, связанное с неизвестным
Тогда
Отсюда находим, что
Воспользовавшись этими соотношениями, заменим в уравнении (3) неизвестное
Полученное уравнение имеет степень в два раза меньшую, нежели первоначальное. Отыскав, если возможно, решения этого уравнения
Так как
Решив уравнения (4), найдем все Рассмотрим теперь симметрическое уравнение нечетной степени. Пусть в уравнении (1) показатель
Сгруппировав попарно члены уравнения, равноудаленные от начала и от конца, и вынеся за скобки общие множители, будем иметь:
Так как
то, поделив левую часть уравнения (6) на
После приведения подобных членов это частное будет выражением, в котором коэффициенты членов, равноудаленных от начала и от конца, равны, т. е. будет иметь вид:
Следовательно, уравнение (6) можно записать так:
Отсюда вытекает, что уравнение (5) имеет решение
Таким образом, решение симметрического уравнения нечетной степени сводится к решению симметрического уравнения четной степени. Рассмотренные нами симметрические уравнения иногда называют симметрическими уравнениями первого рода. Уравнение вида:
называется симметрическим уравнением второго рода. Решаются такие уравнения тем же методом, что и симметрические уравнения четной степени первого рода, но новое неизвестное у связывают с неизвестным
Пример. Решить уравнение
Одно решение этого уравнения известно:
Разделим обе части этого уравнения на
Произведя в нем подстановку
или
Отсюда
Для определения
решив которые, находим:
|
1 |
Оглавление
|