§ 3. Равносильность уравнений

Предположим, что нам заданы два уравнения с одними и теми же неизвестными

и

Будем рассматривать их над одним и тем же числовым полем. Уравнение (2) будем называть следствием уравнения (1) или выводимым из уравнения (1), если каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (2).

Итак, если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то ему удовлетворяют все решения уравнения (1), кроме того, оно может иметь решения, которые не удовлетворяют уравнению (1). Эти последние принято называть посторонними решениями для уравнения (1).

Так, уравнение

является следствием уравнения

а также уравнения

Его решение постороннее для уравнения (4), а решение постороннее для уравнения (5).

Если уравнение (2) является следствием уравнения (1) и, наоборот, уравнение (1) является следствием уравнения (2), то уравнения (1) и (2) называются равносильными над числовым полем, над которым они рассматриваются.

Иначе говоря, два уравнения называются равносильными над числовым полем, над которым они рассматриваются, если всякое решение каждого из этих уравнений является также и решением другого.

Если уравнения (1) и (2) не имеют решений, то они также считаются равносильными.

Понятие равносильности уравнений — относительное, ибо заданные два уравнения могут быть равносильными, если их рассматривать над одним числовым полем, и не быть равносильными, если их рассматривать над другим числовым полем.

Например, уравнения равносильны над полем действительных чисел, ибо в этом поле каждое из них имеет два

решения: Над полем комплексных чисел эти уравнения не равносильны — первое из них имеет два решения: а второе — четыре решения:

Очевидно, что два уравнения, равносильные одному и тому же третьему уравнению, равносильны между собой.

Докажем теперь две теоремы о равносильности уравнений. На них обычно основываются преобразования, которые приходится выполнять при решении уравнений.

Теорема 1. Если к обеим частям уравнения

прибавить функцию а имеющую смысл при всех допустимых системах значений неизвестных, то получим новое уравнение

равносильное первоначальному.

Доказательство. Предположим, что любое решение уравнения (6). Тогда

Кроме того, -некоторое число, ибо допустимая система значений неизвестных, а по условию теоремы а имеет смысл (т. е. равно некоторому определенному числу) при всякой допустимой системе значений неизвестных. К обеим частям численного равенства (8) прибавим одно и то же число а получим равенство

Равенство (9) означает, что система чисел является решением уравнения (7).

Таким образом, мы доказали, что каждое решение уравнения (6) является решением и уравнения (7). Докажем теперь, что и, наоборот, каждое решение (7) является решением уравнения (6).

Пусть система чисел есть некоторое решение уравнения (7). Это означает, что

При этих условиях имеет смысл. Вычитая из обеих частей равенства (10) одно и то же число получим равенство

которое означает, что система чисел является решением уравнения (6).

Условие теоремы об определенности функции при всякой допустимой системе значений неизвестных существенно. Если имеет смысл не при всех допустимых системах значений неизвестных, то уравнения (6) и (7) могут не быть равносильными. Это, в частности, будет иметь место тогда, когда система чисел является решением уравнения (6), но а не имеет смысла. Например, уравнения не равносильны. Действительно, решение первого уравнения не удовлетворяет второму уравнению, ибо при функция не имеет смысла.

Из доказанной теоремы вытекает правило перенесения слагаемых из одной части уравнения в другую.

Если некоторое слагаемое данного уравнения мы перенесем из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному.

Действительно, уравнения

и

равносильны, ибо уравнение (12) получается посредством прибавления выражения к обеим частям уравнения (11).

Кратко правило перенесения слагаемых формулируют так;

Всякое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный.

Следствием этого правила является следующее утверждение:

Всякое уравнение

можно заменить равносильным ему уравнением вида

Действительно, если в уравнении (13) мы перенесем член в левую часть, то получим уравнение

Иногда это утверждение кратко формулируют так: Всякое уравнение

можно записать в виде

Теорема 2. Если обе части уравнения

умножить на функцию а имеющую смысл и отличную от нуля при всех допустимых системах значений неизвестных, то получим новое уравнение

равносильное данному уравнению.

Доказательство. Пусть система чисел произвольное решение уравнения (14). Это значит, что

Так как допустимая система значений неизвестных, то, по условию теоремы, а отличное от нуля число.

Умножим обе части равенства (16) на число а Тогда будем иметь равенство

а это и означает, что система чисел удовлетворяет уравнению (15). Следовательно, мы доказали, что всякое решение уравнения (14) является решением и уравнения (15).

Докажем теперь, что и, наоборот, всякое решение уравнения (15) является решением уравнения (14). Предположим, что система чисел удовлетворяет уравнению (15). Тогда

Так как допустимая система значений неизвестных, то, по условию теоремы, отличное от нуля число, а следовательно, и какое-то число.

Умножив обе части равенства (17) на число-, получим равенство которое и означает, что система чисел является решением уравнения (14).

Если условия теоремы, касающиеся функции не выполняются, например, при некоторых допустимых системах значений неизвестных равна нулю, то в общем случае уравнения (14) и (15) неравносильны. Действительно, всякая допустимая система значений неизвестных, при которой множитель равен нулю, будет решением уравнения (15), но она может не удовлетворять уравнению (14).

Так, например, уравнения неравносильны. Второе из этих уравнений получается умножением первого на множитель который равен нулю при Как видим, является решением второго уравнения, но не является решением первого.

Если множитель а не имеет смысла при некоторых допустимых системах значений неизвестных, то уравнения (14) и (15) также могут не быть

равносильными. В частности, это возможно тогда, когда система чисел является решением уравнения (14), но а не имеет смысла.

Например, уравнения неравносильны.

Действительно, является решением первого уравнения, но не удовлетворяет второму уравнению, ибо множитель - при не имеет смысла.

Из теоремы 2 непосредственно вытекает справедливость утверждения:

Если обе части уравнения умножить на произвольное, отличное от нуля число, получим уравнение, равносильное данному.

Это утверждение кратко формулируют так: Обе уравнения можно умножить на произвольное отличное от нуля число.