Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Равносильность уравненийПредположим, что нам заданы два уравнения с одними и теми же неизвестными
и
Будем рассматривать их над одним и тем же числовым полем. Уравнение (2) будем называть следствием уравнения (1) или выводимым из уравнения (1), если каждое решение уравнения (1) является решением уравнения (2). Итак, если уравнение (2) является следствием уравнения (1), то ему удовлетворяют все решения уравнения (1), кроме того, оно может иметь решения, которые не удовлетворяют уравнению (1). Эти последние принято называть посторонними решениями для уравнения (1). Так, уравнение
является следствием уравнения
а также уравнения
Его решение Если уравнение (2) является следствием уравнения (1) и, наоборот, уравнение (1) является следствием уравнения (2), то уравнения (1) и (2) называются равносильными над числовым полем, над которым они рассматриваются. Иначе говоря, два уравнения называются равносильными над числовым полем, над которым они рассматриваются, если всякое решение каждого из этих уравнений является также и решением другого. Если уравнения (1) и (2) не имеют решений, то они также считаются равносильными. Понятие равносильности уравнений — относительное, ибо заданные два уравнения могут быть равносильными, если их рассматривать над одним числовым полем, и не быть равносильными, если их рассматривать над другим числовым полем. Например, уравнения решения: Очевидно, что два уравнения, равносильные одному и тому же третьему уравнению, равносильны между собой. Докажем теперь две теоремы о равносильности уравнений. На них обычно основываются преобразования, которые приходится выполнять при решении уравнений. Теорема 1. Если к обеим частям уравнения
прибавить функцию а
равносильное первоначальному. Доказательство. Предположим, что
Кроме того,
Равенство (9) означает, что система чисел Таким образом, мы доказали, что каждое решение уравнения (6) является решением и уравнения (7). Докажем теперь, что и, наоборот, каждое решение (7) является решением уравнения (6). Пусть система чисел
При этих условиях
которое означает, что система чисел Условие теоремы об определенности функции Из доказанной теоремы вытекает правило перенесения слагаемых из одной части уравнения в другую. Если некоторое слагаемое данного уравнения мы перенесем из одной части в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный, то получим уравнение, равносильное данному. Действительно, уравнения
и
равносильны, ибо уравнение (12) получается посредством прибавления выражения Кратко правило перенесения слагаемых формулируют так; Всякое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный. Следствием этого правила является следующее утверждение: Всякое уравнение
можно заменить равносильным ему уравнением вида
Действительно, если в уравнении (13) мы перенесем член
Иногда это утверждение кратко формулируют так: Всякое уравнение
можно записать в виде
Теорема 2. Если обе части уравнения
умножить на функцию а
равносильное данному уравнению. Доказательство. Пусть система чисел
Так как Умножим обе части равенства (16) на число а
а это и означает, что система чисел Докажем теперь, что и, наоборот, всякое решение уравнения (15) является решением уравнения (14). Предположим, что система чисел
Так как Умножив обе части равенства (17) на число-, Если условия теоремы, касающиеся функции Так, например, уравнения Если множитель а равносильными. В частности, это возможно тогда, когда система чисел Например, уравнения Действительно, Из теоремы 2 непосредственно вытекает справедливость утверждения: Если обе части уравнения умножить на произвольное, отличное от нуля число, Это утверждение кратко формулируют так: Обе
|
1 |
Оглавление
|