7. Решение нелинейной системы алгебраических уравнений, в состав которой входят линейные уравнения.

Предположим, что нам задана система алгебраических уравнений

в которой первые уравнений линейные, а все последующие нелинейные, т. е. степени выше первой.

Рассмотрим отдельно систему линейных уравнений, образованную первыми уравнениями заданной системы

Решим эту систему линейных уравнений. Для этого, применяя метод алгебраического сложения, будем последовательно исключать неизвестные из системы (39). Возможны следующие три случая.

1. Исключая последовательно неизвестные, мы получим несовместную систему. Так как она равносильна системе (39), то и система (39) несовместна.

2. Исключая последовательно неизвестные, получим систему

где Из последнего уравнения мы находим вполне определенно значение неизвестного

Подставляя это значение в предпоследнее уравнение, найдем однозначно определенное значение неизвестного Продолжая этот процесс и дальше, мы найдем однозначно определенные значения всех неизвестных которые удовлетворяют всем уравнениям системы (40). Следовательно, в этом случае система (40), а значит, и равносильная ей система (39) имеют единственное решение

3. Исключая последовательно неизвестные, получим систему

где

Будем считать «свободными» неизвестными и выразим из последнего уравнения неизвестное через «свободные» неизвестные. Получим Подставив это выражение во все другие уравнения системы (41) и решив предшествующее уравнение относительно получим

Продолжая этот процесс и дальше, мы запишем все неизвестные в виде линейных функций от «свободных» неизвестных, т. е.

Система (42) получена из системы (41) применением метода подстановки, и поэтому она равносильна системе (41), а следовательно, и системе (39).

Придав «свободным» неизвестным определенные числовые значения и вычислив по формулам (42) соответствующие значения неизвестных мы найдем решение системы (41), а значит, и системы (39). Так как число различных способов, которыми можно выбрать значения «свободных» неизвестных, бесконечное, то система (39) в этом случае имеет бесконечное множество решений. Эти решения задаются формулами (42).

Если система (39) несовместна, то и система уравнений (38) несовместна. Если система (39) имеет единственное решение то путем подстановки его в каждое из нелинейных уравнений заданной системы, т. е. в каждое из уравнений

проверяем, удовлетворяет ли оно этим уравнениям, или

нет. Если решение удовлетворяет всем уравнениям (43), то оно является единственным решением заданной системы. Если же хотя бы одному из уравнений (43) оно не удовлетворяет, то заданная система несовместна.

Если система (39) имеет бесконечное множество решений, то они задаются формулами (42). В этом случае в системе уравнений (38) заменим подсистему (39) равносильной ей системой (42). Получим систему уравнений

равносильную заданной системе. Применяя метод подстановки для решения системы (44). подставим выражения для последние ее уравнений. Получим систему уравнений с неизвестными:

Найдя решения системы (45), подставим каждое из них в первые уравнений системы (44) и найдем соответствующие значения неизвестных Каждая система значений

будет решением заданной системы уравнений.

Пример. Решить систему уравнений

Решим сначала систему двух линейных уравнений

Для этого из второго уравнения этой системы вычтем первое. Получим систему

Из второго уравнения системы (47) находим

Подставив это выражение в первое уравнение системы (47) и решив его относительно найдем

Подставим выражения в третье уравнение системы (46). Получим уравнение

Решив его, находим

Соответствующие значения определяются подстановкой значений в соотношения (48) и (49). Таким образом находим

Итак, заданная система имеет два решения: