§ 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел

Как уже известно (глава II, § 2), уравнение

называется иррациональным, если есть иррациональная функция от неизвестных.

При решении иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел допустимыми системами значений неизвестных считают те и только те системы действительных значений, при которых значения подкоренных выражений всех корней четной степени неотрицательны; под значениями корней четной степени подразумевают их арифметические значения, а под значениями корней нечетной степени — действительные значения этих корней. Рассмотрим алгебраические способы решения иррациональных уравнений.

1. Освобождение иррационального уравнения от радикалов путем возведения обеих его частей в одну и ту же степень. При решении иррационального уравнения этим способом, как правило, выделяют последовательно по одному радикалу (т. е. оставляют в одной части выбранный радикал, а все другие члены уравнения переносят в другую его часть) и затем обе части уравнения возводят в степень, показатель которой равен показателю выделенного радикала. Выделяют каждый раз обычно наиболее сложный радикал. Так продолжают до тех пор, пока совсем не освободятся от радикалов. В результате этого получают алгебраическое уравнение, которое является следствием заданного иррационального. Затем решают полученное алгебраическое уравнение.

В некоторых случаях (см. ниже пример 4), для того, чтобы быстрее освободиться от радикалов, целесообразно отделить не один, а сразу два радикала.

При решении иррациональных уравнений этим способом область определения уравнения может расшириться, так как при некоторых системах значений неизвестных

некоторые радикалы, входящие в заданное уравнение, могут в поле действительных чисел не иметь смысла, но эти системы значений неизвестных могут быть допустимыми для полученного алгебраического уравнения. Расширение же области определения уравнения, как известно, может привести к появлению посторонних решений, которые не будут принадлежать области определения заданного уравнения (см. пример 2, ниже).

Кроме того, возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести также к появлению посторонних решений, которые принадлежат области определения заданного уравнения. Появление этих посторонних решений будет вызываться не расширением области определения данного уравнения, а причинами иного характера (см. пример 3, ниже).

Поэтому, найдя решения алгебраического уравнения, полученного из заданного иррационального уравнения, обязательно надо путем подстановки каждого из них в заданное уравнение проверить, какие из них ему удовлетворяют и какие являются для него посторонними.

Примеры. 1. Решить уравнение

Решение. Выделим радикал т. е. оставим его в левой части уравнения, а радикал перенесем в правую часть. Будем иметь: Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим: или после упрощений: Сократив на 2 и снова отделив радикал, будем иметь:

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:

Отсюда

Решениями этого уравнения являются Подстановкой в заданное уравнение убеждаемся, что каждое из этих решений удовлетворяет ему.

2. Решить уравнение

Решение. Перенеся V в правую часть уравнения будем иметь:

Возводим обе части этого уравнения в квадрат:

Отсюда

Возведя обе части полученного уравнения в квадрат, получаем: или после упрощений:

Отсюда Решениями этого уравнения являются:

Второе из этих решений удовлетворяет заданному уравнению, а первое — для него постороннее.

Появление постороннего решения вызывается расширением области определения уравнения. Действительно, в область определения заданного уравнения число 0 не входит, а в область определения уравнения оно входит. Значение не может быть решением заданного уравнения, потому что оно не принадлежит к его области определения.

3. Решить уравнение

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, будем иметь:

или

Решениями этого уравнения являются Первое из этих решений удовлетворяет заданному уравнению, а второе — для него постороннее.

Появление постороннего решения вызывается не расширением области определения заданного уравнения, а тем, что уравнение не равносильно первоначальному, а лишь

выводимо из него. Оно является следствием не только заданного уравнения, но также и уравнения

Решение удовлетворяет уравнению . Решение же для этого уравнения является посторонним.

4. Решить уравнение

Решение. Перенесем радикалы в одну часты

Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:

или после упрощений:

Отсюда

Проверка показывает, что удовлетворяет заданному уравнению.

2. Сведение иррационального уравнения к смешанной рациональной системе путем введения новых неизвестных.

Совокупность одного или нескольких уравнений вида

и одного или нескольких неравенств вида

называют смешанной системой, если ставится требование установить, какие системы значений неизвестных удовлетворяют одновременно всем этим уравнениям и неравенствам. Система значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям и неравенствам смешанной системы, называется решением смешанной системы. Решить смешанную систему — это значит установить, имеет ли она решения, или нет, и если имеет, то найти все их.

Теорема. Всякое иррациональное уравнение

(кликните для просмотра скана)

Так как в уравнении (1) при любой допустимой системе значений неизвестных радикал четной степени обозначает арифметическое значение корня, а нечетной степени — единственное действительное значение корня, то вспомогательные неизвестные могут принимать только действительные значения и, кроме того,

Присоединим неравенства к системе (2). Получим смешанную рациональную систему

(см. скан)

Докажем теперь, что решение иррационального уравнения (1) сводится к решению смешанной рациональной системы (3).

Действительно, если есть решение уравнения (1), то

есть решение смешанной системы (3).

Наоборот, если система действительных чисел является решением смешанной системы (3), то

Кроме того, так как то является арифметическим значением корня степени из

Аналогично действительное число является единственным действительным значением Корня степени из т. е.

Из соотношений (4), (5) и (6) вытекает, что

и, следовательно, система чисел является решением уравнения (1).

Из сказанного вытекает, что для решения уравнения (1) достаточно найти все решения смешанной системы (3). Системы значений неизвестных входящие в состав найденных решений системы (3), будут решениями уравнения (1), причем ими исчерпываются все решения уравнения (1). Если окажется, что смешанная система (3) несовместна, то и уравнение (1) не имеет решений. В рассмотренном случае в состав иррационального уравнения

входили лишь простые радикалы. Если левая часть иррационального уравнения содержит радикалы, подкоренные выражения которых в свою очередь содержат радикалы, но операция извлечения корня выполняется конечное число раз, то путем последовательного введения вспомогательных неизвестных решение такого уравнения также сводится к решению смешанной рациональной системы.

Примеры. 1. Решить уравнение:

Решение. Предположив, что

составляем смешанную рациональную систему

Подставив во второе уравнение вместо получим систему, равносильную системе (7):

Из второго уравнения системы (8) вычтем по частям третье уравнение, что дает уравнение с целыми коэффициентами:

Непосредственная проверка показывает, что делитель 2 свободного члена удовлетворяет уравнению, т. е. уравнение (9) имеет решение Поэтому уравнение (9) можно записать так:

и, следовательно,

Решениями уравнения (10) являются и Следовательно, уравнение (9) в поле действительных чисел имеет только одно решение Это решение удовлетворяет неравенству

Подставив значение в уравнения находим значения а именно:

Таким образом, смешанная рациональная система (7) имеет единственное решение Отсюда вытекает, что заданное иррациональное уравнение имеет в поле действительных чисел также единственное решение

2. Решить уравнение

Решение. Положив

составим смешанную рациональную систему

Решив первое уравнение относительно и подставив найденное значение в третье уравнение, получим смешанную систему, равносильную системе (11):

Подставив из второго и четвертого уравнений значения в третье уравнение (12), получим систему, равносильную системе (12):

Возведя обе части третьего уравнения системы (13) в квадрат, получим систему, которая является следствием системы (13):

Из трех последних уравнений этой системы получаем: или после упрощений:

Отсюда

Очевидно, что может быть решением заданного уравнения, так как и никакая система значений не может удовлетворять третьему уравнению системы заданному уравнению удовлетворяет. Следовательно, заданное иррациональное уравнение имеет в поле действительных чисел единственное решение

Иногда при решении иррационального уравнения целесообразно способ введения новых неизвестных комбинировать со способом возведения обеих частей уравнения в степень.

Пример. Решить уравнение

Решение. Предположив, что будем иметь:

Отсюда

Уравнение (15) заменим смешанной системой

Отделив во втором уравнении системы (16) радикал и возведя обе части уравнения в квадрат, получим: или после упрощений:

Отсюда Оба эти решения удовлетворяют уравнению и неравенству Подставив значения в первое уравнение системы (16), получим следующие два уравнения:

Отсюда

Следовательно, смешанная система (16) имеет четыре решения:

и, значит уравнение (15) также имеет четыре решения, а именно:

Искусственные приемы. В практике решения иррациональных уравнений иногда с успехом применяют отдельные, так называемые искусственные приемы. Рассмотрим некоторые из них на примерах.

а) Решить уравнение

Решение. Умножим обе части уравнения на множитель сопряженный с левой его частью. Будем иметь:

или после преобразований:

Сложив по частям уравнения (17) и (18), получим:

Отсюда

Оба решения удовлетворяют заданному уравнению, в чем легко убедиться путем подстановки их в уравнение,

б) Решить уравнение

Решение. Возьмем тождество

и запишем его так:

Равенство (20) выполняется при любых значениях в частности и при значениях удовлетворяющих уравнению (19). Поэтому если мы в левой части тождества (20) заменим второй его множитель являющийся левой частью уравнения (19), выражением то получим уравнение

которому будут удовлетворять все решения уравнения (19).

Уравнение (21) является, таким образом, следствием уравнения (19), и, следовательно, решения уравнения (19) следует искать среди решений уравнения (21). Уравнение (21) запишем так:

Отсюда видно, что уравнение (21) распадается на два уравнения:

и

Из изложенного выше вытекает, что решения уравнения (19) надо искать среди решений уравнения (22) и решений уравнения (23). Решением уравнения (22) является Это решение удовлетворяет и заданному уравнению (19). Для нахождения других решений уравнения (19) сложим по частям уравнения (19) и (23). Получим уравнение

которому будут удовлетворять все решения уравнения (19), отличные от решения

Отсюда

Решение уравнению (19) удовлетворяет, а решение удовлетворяет.

Итак, уравнение (19) имеет следующие два решения:

в) Решить уравнение

К обеим частям уравнения (25) прибавим по 10 и в уравнении положим Получим где

Решениями уравнения являются но условию удовлетворяет лишь решение

Подставив это решение в соотношение получим:

Отсюда

Путем непосредственной проверки убеждаемся, что удовлетворяют уравнению (25). Следовательно, заданное уравнение имеет два решения.

г) Решить уравнение

Для решения этого уравнения образуем производную пропорцию

После сокращения будем иметь:

Положив получим

Отсюда

Подставив эти значения в соотношение и решив полученные уравнения, находим:

Непосредственная проверка показывает, что является решением уравнения (27) и уравнения является решением уравнения (27), но не удовлетворяет уравнению (26), т. е. является для него посторонним. Легко также убедиться, что уравнение (26) имеет решение которое не удовлетворяет уравнению (27). Следовательно, при решении уравнения (26) изложенным выше

способом мы получили постороннее решение и потеряли решение Произошло это потому, что преобразование уравнения (26) привело к изменению его области определения.

Анализ рассмотренных нами примеров показывает, что в каждом конкретном случае раньше, чем приступить к решению заданного иррационального уравнения, целесообразно внимательно изучить его структуру, а затем уже составлять план решения, используя специфические особенности заданного уравнения.

4. Решение систем, в состав которых входят иррациональные уравнения. При решении любой системы, имеющей в своем составе иррациональные уравнения, всегда преобразуют рассмотренными способами ее иррациональные уравнения и, таким образом, заменяют заданную систему системой рациональных уравнений или смешанной рациональной системой, которая является ее следствием. Затем решают полученную систему. В случае необходимости путем непосредственной проверки выясняют, какие из найденных решений являются решениями заданной системы уравнений.

Пример. Решить систему уравнений

Решение. Отделив радикалы, запишем систему так:

Возведя обе части первого уравнения в квадрат, будем иметь:

Отсюда

и, следовательно, Обе части уравнения (30) также возведем в квадрат, получим:

Отсюда

Аналогично из второго уравнения системы (29) найдем:

К уравнению (31) прибавим по частям уравнение (32), умноженное на 2, будем иметь:

Отсюда

Из соотношения находим, что при следовательно, так как при решении иррациональных уравнений в поле действительных чисел под корнем четной степени из неотрицательного числа мы подразумеваем арифметический корень.

При получаем действительных значений у не имеет. Отсюда вытекает, что лишь система значений может быть решением системы (28); непосредственная проверка показывает, что она удовлетворяет уравнениям системы (28).

Итак, заданная система уравнений в поле действительных чисел имеет только одно решение: