Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Решение иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чиселКак уже известно (глава II, § 2), уравнение
называется иррациональным, если При решении иррациональных уравнений и систем, в состав которых входят иррациональные уравнения, в поле действительных чисел допустимыми системами значений неизвестных считают те и только те системы действительных значений, при которых значения подкоренных выражений всех корней четной степени неотрицательны; под значениями корней четной степени подразумевают их арифметические значения, а под значениями корней нечетной степени — действительные значения этих корней. Рассмотрим алгебраические способы решения иррациональных уравнений. 1. Освобождение иррационального уравнения от радикалов путем возведения обеих его частей в одну и ту же степень. При решении иррационального уравнения этим способом, как правило, выделяют последовательно по одному радикалу (т. е. оставляют в одной части выбранный радикал, а все другие члены уравнения переносят в другую его часть) и затем обе части уравнения возводят в степень, показатель которой равен показателю выделенного радикала. Выделяют каждый раз обычно наиболее сложный радикал. Так продолжают до тех пор, пока совсем не освободятся от радикалов. В результате этого получают алгебраическое уравнение, которое является следствием заданного иррационального. Затем решают полученное алгебраическое уравнение. В некоторых случаях (см. ниже пример 4), для того, чтобы быстрее освободиться от радикалов, целесообразно отделить не один, а сразу два радикала. При решении иррациональных уравнений этим способом область определения уравнения может расшириться, так как при некоторых системах значений неизвестных некоторые радикалы, входящие в заданное уравнение, могут в поле действительных чисел не иметь смысла, но эти системы значений неизвестных могут быть допустимыми для полученного алгебраического уравнения. Расширение же области определения уравнения, как известно, может привести к появлению посторонних решений, которые не будут принадлежать области определения заданного уравнения (см. пример 2, ниже). Кроме того, возведение обеих частей уравнения в четную степень может привести также к появлению посторонних решений, которые принадлежат области определения заданного уравнения. Появление этих посторонних решений будет вызываться не расширением области определения данного уравнения, а причинами иного характера (см. пример 3, ниже). Поэтому, найдя решения алгебраического уравнения, полученного из заданного иррационального уравнения, обязательно надо путем подстановки каждого из них в заданное уравнение проверить, какие из них ему удовлетворяют и какие являются для него посторонними. Примеры. 1. Решить уравнение Решение. Выделим радикал Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим: Отсюда
Решениями этого уравнения являются 2. Решить уравнение
Решение. Перенеся V в правую часть уравнения будем иметь:
Возводим обе части этого уравнения в квадрат:
Отсюда
Возведя обе части полученного уравнения в квадрат, получаем:
Отсюда
Второе из этих решений удовлетворяет заданному уравнению, а первое — для него постороннее. Появление постороннего решения 3. Решить уравнение
Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, будем иметь:
или
Решениями этого уравнения являются Появление постороннего решения выводимо из него. Оно является следствием не только заданного уравнения, но также и уравнения Решение 4. Решить уравнение
Решение. Перенесем радикалы в одну часты
Возведя обе части этого уравнения в квадрат, получим:
или после упрощений:
Отсюда
Проверка показывает, что 2. Сведение иррационального уравнения к смешанной рациональной системе путем введения новых неизвестных. Совокупность одного или нескольких уравнений вида
и одного или нескольких неравенств вида
называют смешанной системой, если ставится требование установить, какие системы значений неизвестных Теорема. Всякое иррациональное уравнение
(кликните для просмотра скана) Так как в уравнении (1) при любой допустимой системе значений неизвестных радикал четной степени обозначает арифметическое значение корня, а нечетной степени — единственное действительное значение корня, то вспомогательные неизвестные Присоединим неравенства (см. скан) Докажем теперь, что решение иррационального уравнения (1) сводится к решению смешанной рациональной системы (3). Действительно, если
есть решение смешанной системы (3). Наоборот, если система действительных чисел
Кроме того, так как
Аналогично действительное число
Из соотношений (4), (5) и (6) вытекает, что
и, следовательно, система чисел Из сказанного вытекает, что для решения уравнения (1) достаточно найти все решения смешанной системы (3). Системы значений неизвестных входили лишь простые радикалы. Если левая часть иррационального уравнения содержит радикалы, подкоренные выражения которых в свою очередь содержат радикалы, но операция извлечения корня выполняется конечное число раз, то путем последовательного введения вспомогательных неизвестных решение такого уравнения также сводится к решению смешанной рациональной системы. Примеры. 1. Решить уравнение:
Решение. Предположив, что
составляем смешанную рациональную систему
Подставив во второе уравнение
Из второго уравнения системы (8) вычтем по частям третье уравнение, что дает уравнение с целыми коэффициентами:
Непосредственная проверка показывает, что делитель 2 свободного члена удовлетворяет уравнению, т. е. уравнение (9) имеет решение
и, следовательно,
Решениями уравнения (10) являются и Подставив значение
Таким образом, смешанная рациональная система (7) имеет единственное решение 2. Решить уравнение
Решение. Положив
составим смешанную рациональную систему
Решив первое уравнение относительно
Подставив из второго и четвертого уравнений значения
Возведя обе части третьего уравнения системы (13) в квадрат, получим систему, которая является следствием системы (13):
Из трех последних уравнений этой системы получаем:
Отсюда
Очевидно, что Иногда при решении иррационального уравнения целесообразно способ введения новых неизвестных комбинировать со способом возведения обеих частей уравнения в степень. Пример. Решить уравнение
Решение. Предположив, что
Отсюда Уравнение (15) заменим смешанной системой
Отделив во втором уравнении системы (16) радикал
Отсюда
Отсюда
Следовательно, смешанная система (16) имеет четыре решения:
и, значит уравнение (15) также имеет четыре решения, а именно:
Искусственные приемы. В практике решения иррациональных уравнений иногда с успехом применяют отдельные, так называемые искусственные приемы. Рассмотрим некоторые из них на примерах. а) Решить уравнение
Решение. Умножим обе части уравнения на множитель
или после преобразований:
Сложив по частям уравнения (17) и (18), получим:
Отсюда
Оба решения удовлетворяют заданному уравнению, в чем легко убедиться путем подстановки их в уравнение, б) Решить уравнение
Решение. Возьмем тождество
и запишем его так:
Равенство (20) выполняется при любых значениях
которому будут удовлетворять все решения уравнения (19). Уравнение (21) является, таким образом, следствием уравнения (19), и, следовательно, решения уравнения (19) следует искать среди решений уравнения (21). Уравнение (21) запишем так:
Отсюда видно, что уравнение (21) распадается на два уравнения:
и
Из изложенного выше вытекает, что решения уравнения (19) надо искать среди решений уравнения (22) и решений уравнения (23). Решением уравнения (22) является
которому будут удовлетворять все решения уравнения (19), отличные от решения Отсюда
Решение Итак, уравнение (19) имеет следующие два решения: в) Решить уравнение
К обеим частям уравнения (25) прибавим по 10 и в уравнении Решениями уравнения Подставив это решение в соотношение
Отсюда
Путем непосредственной проверки убеждаемся, что г) Решить уравнение
Для решения этого уравнения образуем производную пропорцию
После сокращения будем иметь:
Положив Отсюда Подставив эти значения
Непосредственная проверка показывает, что способом мы получили постороннее решение Анализ рассмотренных нами примеров показывает, что в каждом конкретном случае раньше, чем приступить к решению заданного иррационального уравнения, целесообразно внимательно изучить его структуру, а затем уже составлять план решения, используя специфические особенности заданного уравнения. 4. Решение систем, в состав которых входят иррациональные уравнения. При решении любой системы, имеющей в своем составе иррациональные уравнения, всегда преобразуют рассмотренными способами ее иррациональные уравнения и, таким образом, заменяют заданную систему системой рациональных уравнений или смешанной рациональной системой, которая является ее следствием. Затем решают полученную систему. В случае необходимости путем непосредственной проверки выясняют, какие из найденных решений являются решениями заданной системы уравнений. Пример. Решить систему уравнений
Решение. Отделив радикалы, запишем систему так:
Возведя обе части первого уравнения в квадрат, будем иметь:
Отсюда
и, следовательно,
Отсюда
Аналогично из второго уравнения системы (29) найдем:
К уравнению (31) прибавим по частям уравнение (32), умноженное на 2, будем иметь:
Отсюда
Из соотношения При Итак, заданная система уравнений в поле действительных чисел имеет только одно решение:
|
1 |
Оглавление
|