§ 4. Размещения

Возьмем любое множество состоящее из различных элементов.

Всякое упорядоченное подмножество, содержащее элементов данного множества, называют размещением из элементов по элементов. Из этого определения вытекает, что два различных размещения из данных элементов по элементов отличаются одно от другого или составом элементов, входящих в них, или порядком их расположения.

Пример. Из трех цифр 1, 2, 3 можно образовать следующие размещения по два элемента:

Число различных размещений из элементов по элементов обозначается символом

Теорема. Число различных размещений из элементов по элементов равно произведению последовательных натуральных чисел, из которых наибольшим является

или

Доказательство. Число сочетаний из элементов по элементов равно Из каждого такого сочетания образуем перестановок. Получим всего перестановок. Эти перестановки будут различными размещениями из элементов по элементов. Действительно, размещения, полученные из одного сочетания, будут отличаться одно от другого порядком расположения своих элементов, а полученные из двух различных сочетаний — составом своих элементов. Так как размещениями, полученными таким способом, исчерпывается множество всех различных размещений из элементов по элементов, то

или

Этим теорема доказана.

В частности, при всякое размещение из элементов по элементов будет перестановкой из элементов. будет равно числу перестановок из элементов, т. е.

Пример. Сколько различных трехзначных чисел можно записать посредством цифр 1. 2, 3, 4, 5, если ни одна из цифр в записи числа не повторяется дважды?

Решение. Искомое число равно

В перестановках, сочетаниях и размещениях, рассмотрение которых мы закончили, элементы, входящие в них, не повторяются, и поэтому их называют соответственно перестановками, сочетаниями, размещениями без повторений. В практике решения задач иногда встречаются перестановки, сочетания и размещения, в которых элементы повторяются, и поэтому они называются соответственно перестановками, сочетаниями, размещениями с повторениями.