§ 2. Биномиальные коэффициенты и их основные свойства

Коэффициентом первого члена разложения бинома является 1 (или второго — третьего — члена — последнего члена — Эти коэффициенты называются биномиальными. Ниже излагаются основные свойства биномиальных коэффициентов:

1. Коэффициенты членов, равнт/даленных от начала и от конца разложения бинома, равны между собой.

Действительно, в формуле (2) коэффициентом члена разложения является коэффициентом члена, занимающего место от конца разложения, т. е. члена, является Но мы знаем, что

2. Коэффициент члена разложения бинома равен произведению коэффициента члена на показатель степени в этом члене, деленному на

Действительно, коэффициентом члена является показатель степени в этом члене равен а коэффициентом члена является

Отсюда

3. Сумма всех биномиальных коэффициентов равна

В самом деле, положив в формуле получим

4. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равяа сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах.

Действительно, положив в формуле будем иметь:

Отсюда