§ 5. Решение некоторых трансцендентных систем уравнений

Систему уравнений, в состав которой входит по крайней мере одно трансцендентное уравнение, будем называть трансцендентной. Класс трансцендентных систем уравнений довольно широк. Можно привести чрезвычайно много примеров таких систем. Однако средствами элементарной алгебры их решается сравнительно мало.

Мы рассмотрим лишь некоторые трансцендентные системы. Трансцендентными уравнениями, вхолящими в них, будут показательные или логарифмические уравнения, а также уравнения, которые сводятся к показательным или логарифмическим.

Решение этих систем основывается на тех же теоремах, что и решение показательных и логарифмических уравнений. Для того чтобы найти удачный способ решения каждой заданной системы, следует использовать ее специфические особенности.

Примеры. 1. Решить систему а

Решение. Так как то, по теореме 2, уравнение равносильно уравнению следовательно, заданная система равносильна системе

Но так как имеет место тождество то система равносильна системе

Решив эту систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, находим:

Примечание. Если то система (1) несовместна, ибо при действительных значениях выражение не может ни равняться нулю, ни быть меньшим нуля.

Если то система (1) будет иметь вид

Отсюда

и, следовательно, при заданная система будет иметь бесчисленное множество решений, а при с она несовместна.

2. Решить систему

Решение. Предположив, что запишем заданную систему так:

Значениями удовлетворяющими уравнениям системы (5), являются корни квадратного уравнения

Следовательно, система (5) имеет два решения:

Если то система (5) действительных решений не имеет и, следовательно, заданная система уравнений решений также не имеет.

Если то Система (4) имеет решение: у Если то, так как оба корня уравнения (6) будут положительными. В этом случае система (4) имеет два решения:

3. Решить систему

Решение. Областью определения этой системы является множество всех возможных пар положительных действительных чисел. Если или, наоборот, то второе уравнение заданной системы не может иметь решений и, следовательно, в этом случае система несовместна. Предположим, что Так как то, по теореме 2, первое уравнение системы (7) равносильно уразнению

а второе — уравнению

Следовательно, заданная система равносильна системе

Система (8) в свою очередь равносильна системе

Решив второе уравнение системы (9) относительно и подставив его значение в первое уравнение, получим после упрощений и деления обеих частей на уравнение

равносильное первому уравнению системы (9). Заменив в системе (9) первое уравнение равносильным ему уравнением (10), получим систему

равносильную системе (9).

Но так как то, по теореме 2, второе уравнение системы (11) равносильно уравнению

которое в свою очередь равносильно уравнению

Поэтому система (11) равносильна системе

Если то из системы (12) находим:

Отсюда

или

и, следовательно,

Если то следовательно, Система (12) в этом случае сводится к уравнению

Отсюда вытекает, что система (12), а значит, и равносильная ей система (7) имеют бесконечное множество решений

где произвольное положительное число.

Предположим теперь, что Заменив второе уравнение системы (7) равносильным ему уравнением получим систему, равносильную заданной,

у которой Такую систему мы уже решали.

Решить систему

Решение. Областью определения заданной системы является множество всевозможных пар положительных действительных чисел. Заданная система равносильна системе

Из второго уравнения этой системы находим:

Будем считать, что каждое из этих отношений равно у. Тогда

Отсюда

Подставив эти значения в первое уравнение системы (14), получим

Откуда

При это уравнение имеет решение Из уравнений

находим решение заданной системы:

При заданная система имеет вид:

и, следовательно, имеет бесконечное множество решений. Они даются формулами

где произвольное положительное число.

При решения системы даются формулами

где произвольное положительное число.

5. Решить систему

Решение. Запишем первое уравнение этой системы так:

По теореме 3, оно равносильно смешанной системе

Поэтому заданная система равносильна смешанной системе

Смешанная система имеет решение Следовательно, заданная система имеет единственное решение: