Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 3. Упорядоченные поляВажную роль в математике играют так называемые упорядоченные поля. В каждом из этих полей установлено отношение порядка, целесообразно связанное с алгебраическими операциями, определенными в поле. Упорядоченное поле можно определить следующим образом: Поле 1) для всяких элементов 2) если 3) если 4) если Свойства 3) и 4) связывают отношение порядка с операциями, определенными в поле. Свойство 3) называют законом монотонности сложения, а свойство 4) — законом монотонности умножения. Если Определенное таким образом отношение 1. Для всяких элементов а и Справедливость этого утверждения вытекает непосредственно из требования 1) определения упорядоченного поля. 2. Если Действительно, из 3. Если Действительно, если 4. Если Действительно, из Поэтому в силу требования 4) определения упорядоченного поля В основу определения упорядоченного поля можно положить также отношение Поле Исходя из такого определения упорядоченного поля Читатель самостоятельно может доказать, что так определенное отношение Элемент а упорядоченного поля Теорема. Элемент а упорядоченного поля Действительно, если Из определения упорядоченного поля вытекают, как мы увидим в главе VIII, все основные свойства неравенств, известные читателю еще из школьного курса математики. Иначе говоря, на свойствах, о которых идет речь в определении упорядоченного поля, базируется доказательство основных свойств неравенств. Поэтому теорию неравенств можно построить лишь в упорядоченных полях. Среди числовых полей упорядоченными являются поле рациональных и поле действительных чисел. Легко проверить, что определенные естественным образом в этих полях понятия «меньше», «больше» удовлетворяют соответственно требованиям первого и второго определений упорядоченного поля. Поле комплексных чисел не может быть упорядочено. Докажем это. Из определения упорядоченного поля вытекают следующие следствия: а) Если Действительно, в силу свойства Следовательно, в силу свойства б) В упорядоченном поле элементы Действительно, если предположить, что в) Если Действительно, в силу свойства г) Если д) Сумма квадратов любых отличных от 0 элементов упорядоченного поля Действительно, если каждый из элементов а, Из следствия д) вытекает, что поле комплексных чисел не может быть упорядоченным. Действительно, в этом поле есть числа
|
1 |
Оглавление
|