§ 3. Упорядоченные поля

Важную роль в математике играют так называемые упорядоченные поля. В каждом из этих полей установлено отношение порядка, целесообразно связанное с алгебраическими операциями, определенными в поле. Упорядоченное поле можно определить следующим образом:

Поле называется упорядоченным, если для его элементов установлено отношение («а меньше b»), имеющее следующие свойства:

1) для всяких элементов поля имеет место одно и только одно из соотношений:

2) если то

3) если то для всякого с из поля

4) если , то

Свойства 3) и 4) связывают отношение порядка с операциями, определенными в поле. Свойство 3) называют законом монотонности сложения, а свойство 4) — законом монотонности умножения.

Если то говорят, что больше а, и записывают

Определенное таким образом отношение в упорядоченном поле имеет следующие свойства:

1. Для всяких элементов а и поля имеет место одно и только одно из соотношений:

Справедливость этого утверждения вытекает непосредственно из требования 1) определения упорядоченного поля.

2. Если то

Действительно, из вытекает, что и Поэтому в силу требования 2) определения упорядоченного поля следовательно,

3. Если то а с для всякого с из поля

Действительно, если то Поэтому в силу требования 3) определения упорядоченного поля с для всякого с из поля следовательно, а

4. Если , то

Действительно, из вытекает, что

Поэтому в силу требования 4) определения упорядоченного поля следовательно,

В основу определения упорядоченного поля можно положить также отношение и определить упорядоченное поле следующим образом:

Поле называется упорядоченным, если для его элементов установлено отношение («а больше удовлетворяющее перечисленным выше требованиям 1—4.

Исходя из такого определения упорядоченного поля можно в этом поле определить отношение условившись считать а меньшим тогда, когда

Читатель самостоятельно может доказать, что так определенное отношение удовлетворяет всем четырем требованиям первого определения упорядоченного поля. Из изложенного выше вытекает, что поле упорядоченное по первому определению, будет упорядоченным в смысле второго и, наоборот, поле, упорядоченное по второму определению, будет упорядоченным и в смысле первого. На этом основании эти два определения упорядоченного поля называют равносильными.

Элемент а упорядоченного поля называют положительным, если он больше нуля; его называют отрицательным, если он меньше нуля.

Теорема. Элемент а упорядоченного поля тогда и только тогда больше элемента этого поля, когда

Действительно, если то т. е. Наоборот, если то а , т. е.

Из определения упорядоченного поля вытекают, как мы увидим в главе VIII, все основные свойства неравенств, известные читателю еще из школьного курса математики. Иначе говоря, на свойствах, о которых идет речь в определении упорядоченного поля, базируется доказательство основных свойств неравенств. Поэтому теорию неравенств можно построить лишь в упорядоченных полях. Среди числовых полей упорядоченными являются поле рациональных и поле действительных чисел. Легко проверить, что определенные естественным образом в этих полях понятия «меньше», «больше» удовлетворяют соответственно требованиям первого и второго определений упорядоченного поля.

Поле комплексных чисел не может быть упорядочено.

Докажем это. Из определения упорядоченного поля вытекают следующие следствия:

а) Если то

Действительно, в силу свойства

Следовательно, в силу свойства

б) В упорядоченном поле элементы не могут быть оба положительными или оба отрицательными.

Действительно, если предположить, что то в силу следствия а) а Если же предположить, что то в силу того же следствия Но а Таким образом, каждое из предположений приводит нас к противоречию.

в) Если то

Действительно, в силу свойства т. е.

г) Если то Действительно, если то в силу предыдущего следствия Если же то в силу следствия следовательно,

д) Сумма квадратов любых отличных от 0 элементов упорядоченного поля положительна.

Действительно, если каждый из элементов а, отличен от нуля, то в силу предыдущего следствия Тогда в силу следствия

Из следствия д) вытекает, что поле комплексных чисел не может быть упорядоченным. Действительно, в этом поле есть числа и 1, сумма квадратов которых равна чего в силу свойства д) в упорядоченном поле не может быть.